Файл: Кахан, Ж. -П. Случайные функциональные ряды.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 21.10.2024

Просмотров: 97

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

СЛУЧАЙНЫЕ РЯДЫ В БАНАХОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ

43

inf | F„ (со) | >

0.

Докажите,

что

если

ряд

2 ^ А

п. н.

0), п

 

 

 

 

 

 

I

 

сходится или

ограничен,

то

это

же

справедливо

и для

ряда ооЪХпип.

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

(Обобщение

теоремы

6;

сравните

оба

ряда с

рядом

2 е„и„. j

10. Если задан случайный вектор У(со) в банаховом пространстве то функция концентрации а (г) вектора V определяется следующим образом: для каждого г ^ О

a(r) = sup Р(|| У(е>) — * | | < г ) .

л е й

Что означает неравенство а ( 0 ) > 0 ? Найдите функцию концентрации, если V принимает лишь два значения

содинаковой вероятностью.

11.Заданы два независимых случайных вектора в ба­ наховом пространстве. Докажите, что функция концен­ трации их суммы не превосходит функции концентрации каждого из векторов.

 

 

 

 

 

 

 

 

оо

 

 

 

 

 

12.

Пусть

ряд

Тейлора

^jCnzn

сходится

в

круге

| z | <

R,

 

 

f(z)

— его

о

 

 

 

 

и пусть

сумма. Предположим,

что

функцию

f(z)

можно

продолжить

аналитически

в

круг

D :

| z — а | <

р, | а |<

R.

Для

каждого г е й

доказать,

 

 

 

оо

 

 

 

 

 

 

 

 

 

что

ряд 2о cnZn

является

S-суммируемым к функции f (z)

некоторой матрицей суммирования 5, и найти эту ма­ трицу.

(

 

оо

т

( 7 ) ( г

- «>'

f (г) =

£ ^ Г 1

- *Г> ««« = z ' m 1

 

о

/=о

 

( я < т ) ,

аят=«1

( л > т ) . ) -

 

 

13. Пусть ф„ (i) — последовательность аналитических функций в некоторой открытой области Q комплексной

44

ГЛАВА II

плоскости. Предположим, что ряд 2 с пФп О2) сходится

о

в некоторой подобласти G области Q и что / (г) — его сумма. Пусть f(z) допускает аналитическое продолже­ ние в круг D: | z — а | < р, содержащийся в Q, а а е G. Вопрос тот же, что и в упр. 12.

 

а

(апт

= Ф * (*) Ц 7Г «ДО (°) (2 - а ) ' ' и л и а ™ = 1> е с л и

 

/=0

Ф » ( 2 ) =

0.)

Г л а в а

III

СЛУЧАЙНЫЕ

РЯДЫ

В ГИЛЬБЕРТОВОМ

ПРОСТРАНСТВЕ

 

1.

Введение

 

Основная

цель этой

главы — дать

необходимое и

и достаточное

условие для того, чтобы

ряд

оо

независимых случайных векторов в гильбертовом про­ странстве Я был сходящимся или ограниченным почти наверное. В частном случае, когда Я — действительное пространство, это условие эквивалентно известной тео­ реме Колмогорова [1] о трех рядах (1929 г.). В случае ряда Радемахера

 

 

0 0

оо

 

 

 

 

 

 

2

е„и„ = 2

± «д

 

 

 

 

1

1

оо

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

мы

получаем простое

условие

2II

"л II2 < 0 0 •

 

 

 

 

 

i

 

 

 

 

Предварительными этапами для нас будут неравен­

ство Колмогорова,

неравенства

Пэли — Зигмунда

и изу­

чение положительных

рядов.

Все

это

валено и

само

по

себе.

 

 

 

 

 

 

 

Введем сначала

обозначения.

Через

Я обозначим

действительное или комплексное гильбертово простран­

ство.

Скалярное

произведение

обозначим через (х,

у),

а

норму — через

 

Если

X и Y — случайные векторы

в

Я,

то

|| А" И, || Y || и

(X,

Y) — случайные

величины.

 

 

Если

существует такой вектор х <= Я, что для любого

у е

Я

(X,y)z=V(Q)

 

и

Х(Х,у) =

(х,у),

 

 

 

 

 

 

то

будем писать

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

J<=Zj/(Q)

и

S(X)=

J X{a)d(o

= x

 

и называть число

$(Х)

математическим

ожиданием

X.

46

 

 

ГЛАВА

I I I

 

 

Если \\ X\\G

L2(Q),

то будем писать

I G L H ( Q ) .

Если

ZeL?f(Q),

то

отображение

у—>8{Х,у)

является

ли­

нейным непрерывным

функционалом

на И и поэтому

Z e Z j j ( Q ) .

Дисперсия

X определяется

равенством

 

 

 

V{X) =

 

%{\\X-8{X)\f).

 

Она не изменится, если к X прибавить постоянный вектор.

Если X и Y независимы й оба принадлежат то, очевидно, имеем

 

 

 

&{{Х,

Y)) =

{S(X),

&(¥)),

 

 

 

 

 

 

V(X+Y)

=

 

V(X)+V(Y).

 

 

 

В дальнейшем под Хи

Х2,

 

Хп, . . .

будем

понимать

последовательность

независимых

случайных

векторов

в Я .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2. Неравенство Колмогорова

 

 

 

Ниже

предполагается,

что

J „ e L j y ( Q )

и g(Xn)

= 0

для каждого

п. Тогда для любого N

 

 

 

 

 

 

 

&(Х1

+

Х2+

...

+

ХН) =

0,

 

 

 

V(X1

+ X2 +

•.. +XN)=V(Xl)+V(X2)+

 

 

...

+

V(XN),

и, следовательно,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

P(\\Xi

+

X2+ ...

 

 

+XN\\>r)<

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

<jr{V(Xl)+V(Xi)

 

 

+ . . .

+V(XN))

для

любого

г >

0.

Используя

 

лемму

I

предыдущей

главы (см. стр. 27), для симметрических случайнык век­

торов

Хп

имеем

Р (

sup

||*, + Х2+ . . . + Х „ | | > г ) <

п=1.2,.... N

<j>(V(Xl)+V(X2)+

... +

V{XN)).

СЛУЧАЙНЫЕ РЯДЫ В ГИЛЬБЕРТОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ

47

Однако имеет место несколько лучший результат, при­

чем даже

в более общем случае. Именно,

справедлива

 

Т е о р е м а

1.

Если

Хп е

Ьн (Q) и

Ж (Хп) = 0

для

любого

п, то

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Р (

sup

 

||J, +

Z 2 + . . .

+ ^ „ | | > r ) <

 

 

 

 

 

ft=l,2

 

N

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

<-^T(V(X1)+V(X2)+

 

 

. . .

 

+V(XN)).

 

Д о к а з а т е л ь с т в о .

 

Положим

Yn = Х{~\-

Х2-\- . . .

...-{- Хп

 

и

рассмотрим

следующие

несовместные

события:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

А : I U M I > r ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

А2:

|| 7,|| < г, || Y21| > г,

 

 

 

 

 

 

 

 

Л„: | | У , | К г , . . . .

| | У я

- , | | < г , | | У „ | | > г ,

 

а

также

событие

А — (J Д,. Мы хотим оценить вероят-

 

 

 

 

 

JV

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ность

р ( А ) = 2 Р (АОСначала

имеем

 

 

 

 

 

 

 

 

г 2 Р ( Л „ ) < < Г ( 1 Л я | | Х 1

+

. . .

+

Xn\f).

 

 

Полагая

X =

lAN(XT

+ . . . + Хп)

и Y = ХП+1

+

• • •

+Х„,

заметим,

что X зависит

лишь

от ХИ

Х П , a Y — от

ХП+\,

 

X N

. Поэтому

X

и

Y

независимы

и, таким

образом,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

&((Х,

Y)) =

(Z(X),&(Y))

 

=

0.

 

 

 

Так как X

=

0 вне АП,

то

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

У) = аг(*.

iAY).

 

 

 

 

Следовательно,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

аг ( | х + 1 л

/ If) = $ (II х

|р) +

s (j I

A Y

f ) >

*

(к x IP),

и,

таким

образом,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r2 P

(Л„) <

«• (J X

+

1 Л /

|f) —

&(}АП

II ^

IP).

 

48

 

 

 

 

 

ГЛАВА III

 

 

 

 

 

 

Записывая

 

это неравенство для п =

I, 2,

...,

N

и скла­

дывая, имеем

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Это и есть

 

требуемое

неравенство.

 

 

 

 

 

Выведем из теоремы 1 следующий важный

результат.

Т е о р е м а

2.

Предположим,

 

что

Хп е

LH

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

со

 

 

 

&{Хп)

= 0

для

любого

п

и, кроме

того,

2^(Хп )

<

оо .

 

 

 

оо'

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

Тогда

ряд

 

 

 

 

 

Н.

В частности,

если

2 Хп п. н. сходится в

оо

 

 

1

 

 

оо

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2II "л II2 < 0

0

,

то ряд

2 ±

"л п. н.

сходится.

 

 

 

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Для любого г > 0

имеем

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

оо

 

 

P ( s u p | | X m - f Z m + 1 + . . . + Z m + / | | > r ) < - i - 2

У Щ -

Поэтому

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

P ( l i m

sup||Zm

+

X m +

I + . . .

+Xm+,\\>r)

 

=

0.

 

 

m->oo

/

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Выбирая последовательность г, стремящуюся к нулю, получаем

P ( l i m

sup\\Xm

+

Xm+l

+ . . .

+ * m + / | | > 0 )

=

0.

 

m-> со

/

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

со

 

 

 

 

 

 

 

 

Следовательно,

ряд

2

%п п. н. удовлетворяет

условию

Кош и для

сходимости.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3.

Неравенства

Пэли — Зигмунда

 

 

Следующие

неравенства

имеют

противоположный

характер

по

отношению

к

неравенству

Колмогорова.

Т е о р е м а

3.

Предположим,

что

\\ Хп

|| е

L 4 (2),

пусть

= 0

и

& (|| Хп

||4) <

С V2(Xn)

для

любого п.

Дал".е,

0 <

А, <

1.

Тогда

 

 

 

 

 

 

 

 

Р (|| Хх

+

. . .

+

Xy\\>X(V(Xl)+

 

. . . +

^ v ) ) ^

>

Л, (О

Смотрите также файлы