Файл: Кахан, Ж. -П. Случайные функциональные ряды.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 21.10.2024

Просмотров: 105

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

6 2

ГЛАВА IV

тельность e'Q, ej, е*, . . . констант, равных ± 1 , то после­ довательности {Zn } и {е*Хге} подобны (см. стр. 20). По­ этому, если ряд (2) почти наверное обладает некоторым свойством, то этим же свойством почти наверное обла­ дает и ряд

f E w = i ; i / .

(7)

л=0

Вчастности, 31 почти наверное является регулярным множеством для функции Fb. Этот очень простой факт

позволит нам доказать следующее утверждение.

Т е о р е м а

1. Предположим,

что 0 < г <

оо.

Тогда

если

коэффициенты

Хп являются

симметрическими

слу­

чайными величинами,

то окружность \z\

= r

почти на­

верное является

естественной

границей

для

F(z).

Дру­

гими

словами,

множество 31

пусто.

 

 

 

Д о к а з а т е л ь с т в о . Предположим, что 31 не пусто. Выберем натуральное v столь большим, чтобы 91 содер­ жало дугу длины (2л/v) г. Для заданного k = 0, 1 , - v — 1 положим

8* =

1,

если

& (mod v),

е* =

— 1 ,

если

n = £ (modv),

Как мы уже отмечали для ряда (7), 31 п. н. является множеством регулярных точек для функции Fk(z), а также для функции F (z) — Fk (z).

Далее,

F (z) - Fk (z) = 2 2Xk+lvz^

= z*Hk (z),

/=п

 

где

Hk{z) = Hk{ze™i%

СЛУЧАЙНЫЕ РЯДЫ ТЕЙЛОРА

63

Отсюда следует, что Hk(z) п. н. регулярна на окруж­ ности | z | = г. Следовательно, функция

%zkHk(z) = 2F(z) fe=0

п. н. регулярна на окружности \z\ = r. Это противо­ речие доказывает теорему.

4. Общий случай

Теперь мы можем доказать теорему Рыль-Нарджев- ского. Воспользуемся методом симметризации. Для упро­ щения формулировки будем говорить, что | z | = o o является естественной границей для целой функции.

 

Далее,

обозначим

через

rF

радиус

сходимости

ряда

(2).

В то же время через

г0

мы

будем

обо­

значать и радиус сходимости случайного

ряда

Тейлора

с суммой

G.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Т е о р е м а

2.

Предположим,

что

гр

>

0.

Тогда

имеются

лишь

две

возможности.

 

Либо

окружность

\z\

=

rF п. н. является

естественной

границей

для

функ-

 

 

 

оо

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ции

F (z) =

^jXnzn,

 

либо

существует фиксированная

функ-

 

 

 

о

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ция

/ ( г ) =

оо

 

такая,

что

rF_f

> rF

и

окружность

Ц в л 2 " 1

 

 

 

о

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

| z | =

/>_f

п. н. является

естественной

границей

для

функ­

ции F{z) — f (z).

Д о к а з а т е л ь с т в о . Предположим, что первый случай не имеет места, т. е. множество 91 не пусто. Воспользуемся произведением Q X Q в качестве нового вероятностного пространства и рассмотрим ряд

G (z, со, со') = S (Хп (со) - Хп (0>О) zn,

(8)

о

где

(со, соО e ( Q X

й). Почти

наверное

на

Q X

й обе

функции F(z,

со)

и F(z, со')

регулярны

на

91; поэтому

то

лее самое

справедливо и

для функции

G{z,

со, со').

64 ГЛАВА IV

Далее, коэффициенты ряда (8)—независимые симметри­

ческие величины. Применяя

теорему

1, получаем

 

 

 

 

 

 

 

г0 >

rF,

 

 

 

 

а окружность \z\

=

rQ п. н. является

естественной гра­

ницей для

функции

G.

 

 

 

 

 

 

Для

почти

всех

со'

из Q выполняется

следующее

условие:

 

га

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(со, со') =

г 0

для

почти

всех со

 

\z\

=

rQ

является естественной границей для

 

 

 

 

 

 

 

функции G (z, со, со').

Выберем

со'

так,

чтобы

имело

место (9),

и положим

Полагая

 

 

ап

=

Хп(<*')

(л =

0,

1,

. . . ) .

 

 

 

 

 

оо

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

G {г,

0,

со') =

2

{Хп

(со) -

ап) zn

=

F(z)-f

(z),

 

 

 

 

 

о

 

 

 

 

 

 

 

мы сведем

результат к

утверждению

(9).

 

§ 5. Случайные ряды Тейлора двух комплексных переменных

Если дан обычный степенной ряд двух переменных

оо

оо

 

 

 

 

2

2

ап mznz%

[а

комплексные),

(10)

/1=0 т=0

'

 

 

 

то мы определяем его область сходимости как наи­

большее

открытое

множество в

С2 ,

где

ряд (10)

абсо­

лютно сходится;

здесь

С 2

обозначает

множество

пар

комплексных

чисел (zu

z2)

с обычной топологией.

Если

область сходимости D не является пустой, то ряд

(10)

определяет функцию f(zu

z2), голоморфную в D.

С 2 и

Если заданы связное открытое множество А в

функция

f(zu

z2),

голоморфная

в

А, то

Л называется

областью голоморфности функции f(zu

z2),

если не суще­

ствует строго большей области (связного открытого мно­ жества), в которую функцию f(zu z2) можно продолжить аналитически.

СЛУЧАЙНЫЕ РЯДЫ ТЕЙЛОРА

65

В отличие от случая одного комплексного перемен­ ного, не всякая область А является областью голоморф­ ности (см. упр. 3). Поэтому интересно узнать, что всякая область сходимости является областью голоморфности. Это обнаружили Картан и Туллен в 1932 г. Тео­ рема Картана—Туллена является следствием следующей теоремы.

Т е о р е м а

3.

Предположим,

что область

сходи­

мости D

ряда

(10) не является

пустой, и

рассмотрим

случайную

функцию

F(zu z2), голоморфную

в D,

зада­

ваемую

рядом

 

 

 

 

 

оооо

 

 

 

F ( Z „ Z 2

) = 2

=0

2 О я .mRn.

 

mZlZ2>

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

п

m=0

 

 

 

 

 

 

где

e„, m обозначает

независимые

случайные

 

величины

Радемахера

 

( е „ > Т = ± 1 ) .

 

Тогда

почти

наверное

D

является

областью

голоморфности

 

функции

 

F(zu

z2).

 

Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть (£], £2 )—граничная

точка

области D. Докажем

сначала, что

она п. н. особая,

т. е. если мы обозначим

через & множество таких сое=Д

что существует

область

D' (со) ID D,

ДЛЯ

которой

точка

(£i> £2) является внутренней,

а функция F(zu

z2, со) ана­

литически

продолжима

 

в

£>'(©),

то

<S имеет

вероят­

ность

нуль.

Действительно,

рассмотрим

случайную

функцию

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ф

И

= 2

2

ап

m e„ J№wn+m

 

(w комплексно),

(11)

 

 

л=0 т = 0

'

'

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

которая определена и голоморфна в круге | w | < 1 для всех со. Если со с= то 1 является регулярной точкой для функции Ф(ш, со). Таким образом, достаточно дока­ зать, что 1 п. н. является особой точкой для Ф(КУ).

Положим

ФИ = 21>",

Р = О

Yp=

2 a ^ j X Z

(р = 0, 1, . . . ) .

 

n+m=p

 

8 Ж.-П, Kaxau

6 6

ГЛАВА IV

Так как множества величин е„, ,„, фигурирующих в двух разных суммах Ур > не имеют общих элементов, то Yp являются независимыми симметрическими случайными величинами, и мы можем применить теорему 1. Следо­ вательно, точка и) = г ф почти наверное особая. Теперь достаточно доказать, что г ф = 1 .

 

Мы

уже

знаем,

 

что г ф ^ 1 .

С другой стороны, ряд

в (И)

не сходится

 

абсолютно,

если

\ w\>l.

 

Поэтому

для любого б >

0 найдется бесконечно

много пар (п, /и),

таких,

что

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

| a n . m l U i M £ 2 r > e - ( ' t + m ) 6 .

 

 

 

(12)

Теперь

воспользуемся неравенством

Пэли — Зигмунда:

для

любого

р

событие

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

\YP\>1(

 

2

\an,m№\Y

 

 

 

 

(0<*<!)

 

имеет вероятность,

 

превосходящую е =

е (А,) >

0.

В част­

ности, найдется бесконечно много значений р (а

именно

р =

п-\-т,

если

выполняется

неравенство

(12)),

таких,

что

событие

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

\Yp\>le-P6

 

 

 

 

 

 

 

 

(13)

имеет

вероятность

 

> е.

Поскольку

события

(13)

неза­

висимы, то можно применить лемму

Бореля—Кантелли,

из которой следует, что найдется бесконечно

много

таких р, что имеет место (13). Другими словами,

г ф < ! е 9 .

Так как б произвольно мало и

г ф ^ 1 ,

то

г ф = 1 .

 

Следовательно,

 

(£l f £2) п. н. является

особой

точкой.

Выбирая счетное множество S всюду плотное

на

гра­

нице области

D,

мы получим,

что

всякая

точка

мно­

жества S п. н. особая. Отсюда

следует, что

область D

п. н. .действительно

является

областью

голоморфности

функции F.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Дальнейшие

сведения

относительно

областей

голо­

морфности

можно

найти

в упр. 9—11,

 

 

 

 

 

Смотрите также файлы