Файл: Кахан, Ж. -П. Случайные функциональные ряды.pdf

СЛУЧАЙНЫЕ РЯДЫ ТЕЙЛОРА

67

2 V

V .

(14)

Разъясним

коротко

ситуацию.

Здесь Я0, А,

— воз­

растающая

последовательность

положительных

чисел,

Хп — снова

независимые

комплексные случайные

вели­

чины, a

s =

а +

it — комплексные

числа.

Пусть

ас(со) — точная

нижняя

грань

таких

действи-

оо

тельных

чисел а, что

ряд

2

Хп

(со) е~Хп<3

сходится.

Хо-

л =0

рошо

известно,

что ряд (14) сходится при

ст>ас(со)

и

расходится

при сх<а<.(со). Согласно закону

нуля

и еди­

ницы, сг^со)

п. н. постоянно,

т. е.

ас{в>) — ас

п.

н.

при

некотором

ас ( — с х з ^ д с

^ о о ) . Мы

предполагаем,

что — оо <

ас <

оо.

Имеются только две возможности. Либо прямая схо­

димости

а = ас

п. н.

является

естественной

границей

ствует открытый

круг D с центром с на прямой

а =

ас,

в

который

F

п. н.

продолжима.

Пусть

s0 =

а0-{-

it0

—

точка круга

D,

причем ст0

<

ос.

Если

е >

0

достаточно

мало, то тейлоровское разложение функции F около

точки с +

е

п. н.

сходится

в точке s„. Следовательно,

ряд (14)

в

точке

s = s0

п. н.

S-суммируем. некоторой

матрицей.суммирования (см. стр. 43—44, упр. 13 гл. II) .

Если

Хп

симметричны,

то второй

случай

приводит

к противоречию

после

применения теоремы

1 главы

I I

(см. стр.

26). В

общем

случае

можно

рассуждать

как

Т е о р е м а

4. Если

величины. Хп

симметричны, то

прямая

а = ас

является

естественной

границей. В общем

случае,

либо

прямая

<з=*ае является

естественной

8*

68

ГЛАВА IV

2

o.n&~%nS

с

той же

прямой

сходимости и число а'

л=0

о' <

строго меньшее ас, что случайный

ряд

(—

оо

cr,.),

со

2

(Хп

— ап) e~^nS

п. н. сходится

при о>

о' и его

нельзя

га=0

ни в какую

более

широкую

область.

продолжить

назовем

^-множеством,

если

(|{, Щ с= Д при

%\ >

^ > Е2 и

(£i> У е

А- Определим

Ф-множество

в С 2 как

прообраз "^-множества при отображении

(z„

Z a ) - * ( — log

I z,

I , — l o g | 2 2 | ) .

Докажите, что область

сходимости

ряда

(10)

является

^-множеством, а любое '(Р-множество является

областью

сходимости некоторого ряда вида (10).

(Положите

Рщ. п. к - {(Si. У'- «Si +

™.\2 -

log \ап,т\>(п

+ т) X}

A b . v =

П

^ m . » . X .

Д =

U

4 l r

(п, m):n+m>v

v, Я.>0

Докажите, что А является

'й'-множеством

и что

любое

•^-множество получается

таким

путем.

Сравните

Д

с наибольшим

открытым множеством в R2, где

со

оо

2

2 \ап,т\е-^+^

< о о . )

2. Если D является ^-множеством

и функция f (zu

z2)

голоморфна в

D, то f(zl,z2)

имеет

разложение (10),

которое

сходится в D.

докажите, что f(zu

z2)

(Используя

формулу

Коши,

имеет разложение (10) в поликруге

{(zu

z?): | гх

| < | ^ |,

I z a K l b D при

(£„£2 )6=Д.)

3. Если D0 и D, суть "^-множества, то в общем

случае

существует "сР-множество D,

которое

строго

70

ГЛАВА IV

целых функций т

переменных g{, g2

gn,

и

пусть Я —ядро подмножества из

С \

заданного

нера­

венством s u p | g „ ( z

, z m ) | ^ l .

Предположим,

что

со

ной функции

2 engPnn{zi>

zm)> г

д е

е п — последова-

тельность

Радемахера.

(Используйте

упр. 9.)

11. Открытое

подмножество

Я

из

С ш

называется

полиномиально

выпуклым,

если для любой точки (а( , . . .

ат),

заданной

вне Я,

найдется

полином

P{zu . . .

. . . , zm ),

такой,

что

| Р | <

1 на Я

и | Р (а„

. . . .

ат) \ > 1.

жество является

областью голоморфности (Картан —

Туллен).

(Используйте

упр. 10 и рассмотрите полиномы

с рациональными

коэффициентами.)