ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 21.10.2024
Просмотров: 124
Скачиваний: 0
РЕГУЛЯРНОСТЬ. УСЛОВИЯ НА КОЭФФИЦИЕНТЫ |
113 |
Далее, |
Тк — случайная величина |
на Qxo. |
Если задано |
||||||
|
|
|
со |
|
|
|
|
|
|
такое со е= 0,ХФ, |
ЧТО 2 |
< |
°°> т о |
ряд (5) является слу |
|||||
чайным |
рядом |
радемахеровского |
типа на Qe . Так как |
||||||
условие |
(4) обеспечивает |
включение ( 2 ) е С п. н., то |
|||||||
|
ОО |
|
|
|
|
|
|
|
|
условие |
2 Tk < |
оо |
влечет (5) е С |
п. н. (QJ. |
Поэтому |
||||
( 5 ) s C п. н. (й*Фе). |
Так как ряд (5) |
подобен |
ряду (1), |
||||||
то ( 1 ) G C П. Н. И теорема |
доказана |
в общем |
случае. |
||||||
Замечания. |
1. Доказательство |
теоремы |
1 приводит |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
оо |
к несколько более сильному утверждению: если |
2 h < °°, |
||||||||
то ряд (1) п. н. представляет |
непрерывную |
функцию. |
|||||||
2. С л е д с т в и е . |
Если |
st |
< s*h |
s)+\ |
^ s) (j = 1, 2, ... ) |
||||
со |
° ° i то ряд |
(1) п. н. представляет |
|
непрерывную |
|||||
и 2 s / < |
|
||||||||
функцию. |
Это утверждение может быть получено также |
||||||||
из теоремы 1, если воспользоваться принципом сжатия.
3. Можно поставить |
вопрос, не следует ли из более |
|
со |
слабого предположения |
2 s / < °°> что ряд (1) предста |
вляет п. н. непрерывную функцию. Ответ отрицателен (см. упр. 2).
3. Оценки для модуля непрерывности (субгауссовский случай)
Если задана непрерывная функция f на окружности, то ее модуль непрерывности, рассматриваемый как функция от h > 0, определяется равенством
ш,(А)= |
sup | / ( / ) - / ( 0 1 - |
Ниже мы будем |
предполагать, что sf = О ( 2 - p / / v ) , |
Р ^ О , причем у < — 1. если р = 0. Согласно приведенно му выше замечанию 2, ряд (1) п. н. представляет непре рывную функцию. Обозначим эту случайную функцию через F,
114 |
|
|
|
|
|
|
|
ГЛАВА VII |
|
|
|
|
|
||
Т е о р е м а |
|
2. |
|
Рассмотрим |
субгауссовский |
ряд (3), |
|||||||||
такой, что |
|
I |
|
|
2 |
|
Л)112=о(2-" |
|
П. |
|
|
(6) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
a) |
Если |
р = |
О, у < |
— 1, то |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
со^(Л) = |
о ( 1 о 8 « + ' 1 ) |
л. к. |
|
|
|
|||||
b) |
£слн |
0 < |
р < |
1, |
го |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
coF(/z) = o ( / z p l o g , / 2 + v i - ) п. н. |
|
|
|||||||||
c) |
£сл« |
р = |
I , у > |
— 1/2, то |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
coF(/z) = |
o ( A l o g ' + v i ) |
tt. |
к. |
|
|
|
|||||
d) |
Если |
р = |
1, |
|
— 1 < |
Y < — 1/2, |
го |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
со, (Л) = |
О (/г log"21) |
п. к. |
|
|
|
|||||
e) |
Если |
р = |
1, |
|
у < |
— 1 и л и |
Р > |
11 |
то F |
|
непрерывно |
||||
дифференцируема. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
Если |
задано |
целое положи |
||||||||||||
тельное число г, то положим hr |
= 2 _ Г , |
v0 |
= |
0, |
Vj = г, ... |
||||||||||
.... |
vk |
= r2k~\ |
|
. . . . Nk |
= 2v" и |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
^ |
(0 = |
|
2 |
e„x„ cos (/г/ + |
<р„). |
|
|
|||||
Производная |
от Р0 (/) |
равна |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
ро |
(0 = |
Nx-l |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
2e"nj;'1c o s Н + Ф"+ т) • |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
I |
|
|
|
|
|
|
|
|
Так |
как со, (hr)^a>P. |
(hr) |
+ &Р,+Р,+ ... (hr), |
то |
имеем |
||||||||||
<uF(nr)<hr\\Po\L + 22l\\Pk
РЕГУЛЯРНОСТЬ. УСЛОВИЯ НА КОЭФФИЦИЕНТЫ |
115 |
Теперь применим теорему |
2 гл. V I : |
|
|
|
||||||||
|
|
/ |
|
|
|
|
fN,-\ |
|
|
4l/2v |
|
|
|
Р ( l l P o l L > C ( l o g ^ ) , / 2 ( |
J |
n\l\ |
j |
< |
- ^ . |
||||||
|
/ |
|
|
|
|
|
fNk + l-l |
\ ' / 2 \ |
|
|||
p(llP*IL>c(iog^+ 1 )I / 2 r J |
|
4j |
|
|
||||||||
За исключением |
события, |
вероятность которого меньше |
||||||||||
+ |
|
|
•••> |
т. е. меньше |
2 1 _ 2 г , |
имеем |
|
|
||||
Щ |
N2 |
|
|
|
|
|
/N,-1 |
|
\ 1/2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
| Р о 1 1 с о < С ( 1 о д ^ ) 1 / 2 ( ^ 2 п2х2п] |
=а |
|
||||||||
и |
|
|
|
|
|
|
/ " * + ! - ' |
V / 2 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
I I P f t I L < c ( i o g ^ + , ) , / 2 ^ |
2 |
4) |
= 6 , |
||||||||
для |
любого |
Здесь и далее С обозначает положи |
||||||||||
тельное число, |
которое |
не |
зависит |
от |
г и k, |
но может |
||||||
быть |
различным |
в разных |
местах. Используя |
(6), имеем |
||||||||
|
|
|
|
/ |
г |
|
|
|
\1/2 |
|
|
|
|
|
|
|
/ |
|
vfe+. |
|
V' 2 |
|
|
||
|
|
|
6* < С |^(r2*)'+2v |
2 |
2 _ 2 / р 1 . |
|
|
|||||
Если |
0 < р |
< 1, |
то |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
fl<0I/2+v2r(,-p). |
|
|
|
|
|
|
||
Если |
н = |
1, |
у > |
— 1/2, |
то |
|
|
|
|
|
|
|
Если |
р = |
1, |
у < |
— 1/2, |
то |
|
|
|
|
|
|
|
Если |
Р > |
0, |
то |
|
а < |
О'/ 2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
2 ** < С 2 (r2*), / 2 + Y 2-p r 2 * < C r , / 2 + v 2 - p r .
1 1
116 |
ГЛАВА vn |
Если р = О, у < — 1. то
S & & < C S ( r 2 * ) , + v < C / - 1 + Y .
Если в предыдущих оценках мы заменим г на log(l//jr ), то во всех случаях а), Ь), с) и d) получим
|
|
c o F ( A r ) < C ^ l o g v ' J - |
(hr |
= 2~r) |
|
|
|||||||
Yi = |
1 + |
у, -j + |
у, |
1 + Y |
или |
1/2, |
в |
зависимости |
от |
||||
случая, |
который |
мы |
рассматриваем), |
за |
исключением |
||||||||
события, |
вероятность |
которого |
меньше |
2 1 - 2 г . |
Согласно |
||||||||
лемме |
Бореля — Кантелли, |
это |
неравенство |
почти |
на |
||||||||
верное имеет место при достаточно большом г. Так |
как |
||||||||||||
aF (h) |
является возрастающей функцией h, |
то имеем п. н. |
|||||||||||
|
|
|
<йР (А) < С/гр logV l (1//г), |
|
|
|
|
||||||
когда |
h |
достаточно |
мало. Тем самым доказаны оценки |
||||||||||
а), Ь), с) и d). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Оценка е) очевидна, если |
рассмотреть |
ряд |
|
||||||||||
|
|
со |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
гппхп |
cos (nt + |
ф„ + |
л/2), |
|
|
|
||||
который п. н. представляет непрерывную функцию в слу
чае р = |
1, y < |
— 1 |
и л и |
в случае |
р > 1 . Этим |
заканчи |
||
вается |
доказательство |
теоремы. |
|
|
||||
Не существует очевидного пути для обобщения тео |
||||||||
ремы 2 на общие ряды (1) |
(см. упр. 5). |
|
||||||
4. Достаточное |
условие |
для |
включения (1) е= Л„ |
|||||
Класс |
Липшица |
Л а |
(0 < |
1) состоит из всех таких |
||||
функций |
/, что |
G>f (h) = О (ha). |
Он является |
банаховым |
||||
пространством |
относительно |
нормы |
|
|||||
|
|
11/11ла = |
1 1 / И с о + 5 и р Ц ( Л ) Л _ а ) . |
|
||||
Удобно определить класс Л а + р (/7=1, 2, . . . ) как множество всех р раз дифференцируемых функций /, таких, что / ( р ) е= Л а .
Р Е Г У Л Я Р Н О С Т Ь . У С Л О В И Я Н А К О Э Ф Ф И Ц И Е Н Т Ы |
117 |
|
Здесь, как |
и в п. 3., |
ряд (1) п. н. представляет не |
||||||||
прерывную |
функцию |
F. Напомним, что |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
Г2/+1 |
/ |
|
|
|
Т е о р е м а |
3. |
Если |
5у = |
0(2~р / ), |
р > 0 , |
то почти |
|||||
наверное |
F е= Л а |
при |
любом |
а < р. |
|
|
|||||
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
Если |
мы продифференцируем |
|||||||||
ряд |
(1), то |
соответствующие |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
/ , |
= ( |
2 |
|
|
&(п2хЩ12 |
|
|
|
|
|
|
|
\2/<п<2/+1 |
/ |
|
|
|||
будут лежать |
между |
|
и 2/+ | 5/. Поэтому |
|
|||||||
|
|
|
S / = o ( 2 - p o # = > s ; = o ( 2 - ( p + i ) o |
|
|||||||
и достаточно |
доказать теорему |
3 для |
0 < р ^ 1 . |
||||||||
При |
этом |
предположении |
требуемое утверждение |
||||||||
для |
рядов |
Радемахера |
очевидным образом |
вытекает |
|||||||
из теоремы 2. В общем случае |
мы рассуждаем, как и |
||||||||||
в п. 2; |
введем |
ряд (5) |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
0 0 |
|
|
|
|
|
|
2е„Хп cos (nt + Ф„),
п=0
заданный на вероятностном пространстве 0,ХФ& = йхоХ^е» и положим
s , = |
( |
2 |
xl)112. |
|
Ы<п<2/+ 1 |
/ |
|
ОО |
|
|
|
Так как 2 Г 2 2 2 р / 5 / < |
°° |
и s2 = |
g(S2), то имеем |
2 /~2 22 р / 5/2 < оо п. н. (0*ф)
Поэтому
5/ = 0(/2 - р / ) п. н. (йХф)
и, согласно теореме 2, ряд (5) представляет п. н. (&ХФе) функцию, которая принадлежит любому классу Л а , а < р. Но так как ряд (5) подобен ряду (1), то на этом доказательство заканчивается.