Файл: Кахан, Ж. -П. Случайные функциональные ряды.pdf

РЕГУЛЯРНОСТЬ. УСЛОВИЯ НА КОЭФФИЦИЕНТЫ

119

где интеграл

берется по

окружности. Если положить

оо

— оо

оо

— со

оо

h =

-^\k{t)e-^dt,

k ~ ^ k n e ^ ,

— со

TO kn = fnUn-

следующую задачу. Пусть заданы а > О

Рассмотрим

и р > 0.

Можно

ли для

любой

функции ^ Е Л а найти

функцию

/ е= Лр ,

такую,

что f*f

—

k}

Мы можем

сформулировать

эту

задачу по-другому.

со

(— оо <

п <

оо), такой, что 2

а-пеш е А а ,

выбрать

знаки

— ОО

ОО

±

так,

что

2

=Ь йпеш

е

Л& ?

со

— со

Если

2 ф » | п ' е = Л „ ,

то

2

| а „ 4 | =

0 ( 2 - 2 / а )

2-/ <|п|<2/ + 1

(см. предложение из п. 4),

откуда,

согласно

неравен­

ству Шварца,

2*<| л | <

2l+ i

! = 0 ( 2 - ( а - 1 / 2 ) / ) .

Применяя

теорему

3 к действительной и мнимой

частям

- I

±

0 0

рядов

2

апеш

и

2

±

а„е'п ( ,

мы

видим,

что

о

2

± апеш

е= Л р

п. н.,

если

р < (а —

1/2)

Если

2

а„е'"'G= Л„,

то

2

| а„ |2 =

0 ( 2 _ 2 / р ) .

Поэтому,

если выбрать

у* =

/ 2 _ < 1 + 2 е ) /

при

2'<|

п

| < 2 / + | ,

то

будем

иметь

2

± V±

Уп е ш ф- Л 0

при

всех

набо-

— оо

оо

pax

знаков

+

и

—.

Рассмотрим

ряд

2

± Y«e '"'-

— оо

Согласно теореме 3, этот ряд п. н. представляет

функ­

цию

класса

Л а

для

а <

1/2 + 2р.

Следовательно, мы

можем

выбрать

ап(ап=±уп)

так,

что

для

c t < l / 2 +

2p,

a

2

± апеш

ф. Л р

при

всех

наборах

знаков

+

и —. Таким образом, мы доказали

следующее

утверждение.

Т е о р е м а

4.

Если р < ( а — 1 / 2 ) / 2 ,

то любую

функ­

цию

класса

Л а можно

записать

в

виде

f * f,

где

fe=Ap .

Если

же р >

(а—1/2)/2, то найдется

функция

класса Л.а,

которая

не

может быть записана

в виде

f * f, где

f е5Лв .

6.

Упражнения

1.

Докажите,

что множество

{4V ' -f- 4^] (v =

1, 2,

u. =

(v — l ) 2

+

1,

(v — l ) 2 -4- 2,

v2 )

является

множе­

ством

Сидона.

(Ср. упр. 8, гл. V, стр. 93; определение

множества

Сидона

дано

в гл. V I , стр.

101 —102.)

2.

Докажите,

что существует

такая

действительная

оо

последовательность

хп>

что

2 /

2

х1)112

<

°°> но

/='12

/ <П <2' +|

/

при любом выборе знаков +

и — имеем

со

^±хпешф1,°°.

i

(хп=±-,

если n =

4 v

4 ^ ,

v = l , 2 ,

... ;

n = ( v - l ) 2 - f l ,

( v - l ) 2 + 2,

v2 .)

ческий ряд

2 ± Сп

„ еП/».и.+»2Иа-1-...)

(7)

РЕГУЛЯРНОСТЬ, УСЛОВИЯ НА КОЭФФИЦИЕНТЫ

121

дексом

является

последовательность

целых чисел, в ко­

торой

лишь

конечное

число членов

отлично от

нуля.

Для всякого конечного подмножества Л из /

обозначим

через

s (Л)

количество

таких

индексов

/,

что п./ Ф О

в

некотором

(л,, л2 ,

. . . ) с = Л ,

через

N{A)

— точную

верхнюю грань

sup

(| л, | + | п21 + . . . )

по

всем

(л,,

п2,

. . . ) с = Л

и, наконец,

положим

У ( Л ) =

2

| с П 1 , „ г , . . . | 2 .

(п,,

л , , . . , ) е Л

подмножества

Лу (у =

1, 2, . . . ) •

Докажите,

что ряд

(7)

п. н. сходится

в С. (Теорема

3

гл. V I , стр.

100.)

4. Рассмотрим

случайный

тригонометрический

ряд

S ± a | 1 . v c o s ( X | 1

+

a,v)f

( v = l ,

2, ... ; ц = 1 ,

. . . . v),

(8)

последовательность

^ 2 l a n . v l 2

J

=о\>

убывает

и

со

что ряд

(8)

п. н.

представляет

2 о \ у < о о . Докажите,

непрерывную функцию.

(Положите Х^ = и^ и используйте упр. 3.)

5. Постройте последовательность

независимых

сим­

метрических случайных величин Хп,

такую, что V(Xn)=l