Файл: Кахан, Ж. -П. Случайные функциональные ряды.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 21.10.2024

Просмотров: 130

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

122 ГЛАВА VII

при каждом

п,

а случайная функция

 

 

 

 

 

 

со

 

 

 

 

 

 

 

 

 

F(t)

=

S

2~паХп cos 2П /

(0 < а < 1)

 

 

 

не удовлетворяет п. н. условию

coF (ft) = О (ha |Aog

1/ft)

(Хл =

± л log ft с вероятностью

 

l/(rtlogn), Z„ = 0

с

ве­

роятностью 1 — l/(n log л).)

 

 

 

 

 

 

 

6.

Докажите,

что если

ряд

(1) удовлетворяет

усло­

вию

S/ = О ( 2 - p / / v ) ,

0 < р <

1,

то

он

п. н. представляет

такую непрерывную функцию F, что aF

( я ) = 0 ^/zB log6 -^-j,

если

б > у +

1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(Доказательство

аналогично

доказательству

 

тео­

ремы

3.)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7.

Докажите, что если ряд (1) удовлетворяет

условию

со

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 < ^ ( ^ п ) logl + e ft

<

оо при

некотором

е > 0, то

он

п. н.

2

представляет непрерывную функцию. Докажите, что

со

если 2 # U n ) f t 2 a < оо (0 < a < 1), то ряд (1) п. н. пред-

2

ставляет такую функцию F, что aF (ft) = О (л° l^log 1/л).

се

 

(В первом случае докажите, что ^Tk<oo

п. н., где

Tk определены на стр. 112. Во втором случае доказа­ тельство то же, что и для теоремы 3.)

Г л а в а VIII

УСЛОВИЯ НА КОЭФФИЦИЕНТЫ, ОБЕСПЕЧИВАЮЩИЕ НЕРЕГУЛЯРНОСТЬ

 

 

1.

Введение

 

Мы

снова будем рассматривать ряд

 

 

 

оо

 

 

 

 

2U„cos(/tf + cDn),

(1)

 

 

1

 

 

где Хпе

п

— независимые

симметрические комплексные

случайные

величины (Хп

и Ф„ действительны).

Иногда

мы будем

обращаться к ряду

 

 

 

2Аяеш(Аа

= Хяе'фп),

(2)

 

 

о

 

 

представляющему собой случайный ряд Тейлора на

окружности | z | =

1.

В предыдущей

главе мы дали достаточные условия

на коэффициенты

для того, чтобы ряд (1) представлял

п. н. непрерывную

функцию или функцию класса Л а .

Здесь мы изложим некоторые результаты противопо­

ложного

направления.

 

Пусть

снова

 

и пусть выполнено условие регулярности

 

 

%{Хп)^Сё>\Хп),

(4)

где С не зависит от п. Согласно этому условию, вели­ чина Хп не может быть малой с большой вероятностью

ине может быть большой с малой вероятностью.

Основной результат будет заключаться в следующем:

оо

 

если 2 s / = 0 ° . т о

п. н.

1

124

 

 

ГЛАВА VIII

 

 

 

Мы дадим также условия на Хп,

чтобы ряд(1) пред­

ставлял

непрерывную

функцию F, которая

п. н. нере­

гулярна

почти всюду,

т. е.,

грубо говоря, мы покажем,

что

если

F ф Л а п. н. при

а > а0 , то

F (t +

h) — F (t) Ф

ф

О (ha)

п. н. почти всюду

при а <

а0 .

 

Большую трудность представляет изучение нерегу­ лярности всюду. Главная цель предлагаемого метода

состоит

в том,

чтобы

получить некоторую информацию

о гауссовских

стационарных процессах (см. гл. X I I I и

XIV). В

частности,

он приводит к хорошо известному

результату о том, что определяющие функции броунов­

ского

движения

нигде не дифференцируемы.

В

конце мы

рассмотрим проблему, поставленную

Дворецким и Эрдёшем [1]: найти условия на коэффи­

циенты,

которые обеспечивают

расходимость

ряда (2)

всюду. Последняя

теорема

обобщает

несколько фактов

о сходимости

или

расходимости

ряда

(2).

 

2. Неограниченность;

подход

Пэли — Зигмунда

 

 

 

 

 

 

0 0

 

 

 

 

Здесь

предполагается,

что 2 s

/ = 0 ° - Наша

цель со-

 

 

 

 

 

 

i

ряд

(1) ф. L°°

п. н.

стоит в доказательстве того, что

Идея

нашего

метода

 

заключается

в разбиении

ряда (1)

на блоки

 

 

 

 

 

 

 

 

 

М

0 =

.

2

,

*„cos(rt/ +

<D„)

 

 

 

 

2'<п

<

2 / + 1

 

 

 

 

и в рассмотрении

частных

сумм

 

 

 

 

 

 

St(t)=

 

2

 

Хлсо5(Ш

+

Фп).

 

 

 

 

п < 2'

 

 

 

 

 

 

Поскольку

Р/ — независимые

тригонометрические

полиномы, то для каждого / можно определить случай­ ную величину tj = tj{a), такую, что

Si(ti) = supS,(t) = H,.

Мы могли бы рассуждать следующим образом: «Я/ —

возрастающая последовательность и Н1+х~^Sl+X(tj)

=

 

НЕРЕГУЛЯРНОСТЬ. УСЛОВИЯ НА КОЭФФИЦИЕНТЫ

125

= Hj-\-Pj(tj).

Следовательно,

 

 

 

 

 

 

Я / + 1 -

Н, > Pf (t,) = sup (О, Р,

(/;)).

 

Если

Хп((й)

и Ф„(со) выбраны

для п < 21,

то i/(co) опре­

делено и Pf

(t/) — случайная

величина,

которая

больше

kS] с вероятностью, превосходящей

е,

причем

е и X не

 

 

 

 

со

 

 

 

 

 

зависят от /. Следовательно,

2

Pf

(ti) = 0

0 , и поэтому

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

5/ п. н. не ограничены в L°°».

 

 

 

 

 

В этом рассуждении верно все, за исключением

исходного положения: Я/ не обязательно

образуют воз­

растающую

последовательность.

Более того, сказанное

относительно Pf

(tj) в общем

случае

неверно;

необхо­

димо

некоторое

предположение

относительно

Ф„. На­

пример, можно предположить, что Ф„ равномерно рас­

пределена

на [0, 2я] и не зависит от

Хп.

 

 

 

 

 

Нам понадобится несколько лемм, чтобы ввести

тригонометрический

полином

нового

типа,

 

связанный

с

рядом (1).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Л е м м а

1. Пусть

ар (л:) — четная

функция,

 

заданная

на

прямой,

выпуклая

на

[О,

оо),

причем

ар (0) =

1 и

•ф(л:) = 0,

если

х достаточно велико.

 

Тогда

 

тригономе­

трический

полином

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

*(0 = 2 ф ( л ) е ш

 

 

 

 

 

положителен,

а

его среднее

значение

 

равно

1.

 

 

 

Д о к а з а т е л ь с т в о

очевидно,

поскольку

k (t)

является линейной комбинацией ядер Фейера

с поло­

жительными

коэффициентами.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

00

 

 

 

Л е м м а

2. Если,

кроме

того, функция

 

— 0 0

f~^jf(n)eint

 

 

 

 

 

 

 

сю

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

действительна

и ограничена,

то 2

ip in) f in)

eint

=

s {t)

— CO

действительна и sups(t)^.sup f(t), t t

126

 

ГЛАВА

VIII

Это следует очевидным образом из леммы 1 и

формулы

 

 

 

 

s W = i I

k(u)f(t-u)du.

Л е м м а 3.

Пусть %(x) =

sup(0, 1—|л:|) и

9 W =

x W x ( { )

••• x(-gs-) ••• •

 

 

оо

 

Для функции

f ~

2if{n)eint

из леммы 2 положим

—оо

2>

* ; w = E e ( - i r ) f ( f t > « t a | .

-22'/

-2 /

Тогда

sup sup si*(О,

sups "(0<sups*+ 1 (0.

sup s*(/)<sup /(0.

t '

t

До к а з а т е л ь с т в о . Для каждого / функции % (х/21)

иQ(x/2') удовлетворяют предположениям относительно

ty(x) в лемме 1. Кроме того,

- 2 / -2/ +I

Остается сослаться на лемму 2.

НЕРЕГУЛЯРНОСТЬ УСЛОВИЯ НА КОЭФФИЦИЕНТЫ

127

Учитывая, что 0(1) = 0, мы будем ниже придержи­ ваться следующих обозначений:

 

2/-1

 

 

 

 

 

s*i (t) =

2 Хе

 

cos (т + Ф„),

 

п=0

 

 

 

 

 

2>-,

 

 

 

 

 

ST (0 = S z « e

 

c o s { n t + Ф п ) '

 

n=0

W

/

 

 

P H 0 =

 

J ]

^«в(ЕЙт)соз(я/ + Ф П ) .

2/<n<2/+I

V l

 

 

Таким образом,

Sj+i(t)

=

ST(t)

+P}(i),

РГ (/) = sup (0,

P'i (/)),

Я/ =

sup 5? (0-

Согласно лемме

3,

существует

такое

t, что S" (^) Н).

Положим

 

 

 

 

 

 

/? =

inf{f

> 0 : SJ* ( * ) > # } } .

Следовательно, t) — случайная величина, причем 5 " (//)!> ~^Н). Снова опираясь на лемму 3, получим более того,

я ; + 1 - щ >shi (Ф - s r ( ' / ) = ( ' / ) •

Следовательно,

я ; + 1 - я ; > я г ( Ф -

(5)

3. Неограниченность; частный случай

Предположим, что ряд (1) п. н. представляет огра­ ниченную функцию F. Кроме того, пусть Ф„ равномерно распределена на [0, 2я], а Ф„ и Хп независимы, так что

Ш (Xl cos2 ( я Н - Ф я ) Н а г {Х2п) & (cos2 ( я Н - Ф „ ) ) =

^ ( 4 ) .

(6)

Для простоты предположим,

что Х0 = Хх = 0.

 

 

Теперь рассмотрим

вероятностное

пространство

Q

в

виде произведения

Ц

Qt,

причем

Хп и

Ф„ заданы

на

Q/ при 2 / < r t < 2 / + 1

.

Другими словами,

случайный

Смотрите также файлы