ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 21.10.2024
Просмотров: 132
Скачиваний: 0
128 ГЛАВА VIII
полином P'j(t) определен на Qj. Кроме того, случайная величина t) определена на Q i X ^ X ••• X Qj-i-
Через Р/( ) мы обозначаем вероятность в Qt. При нимая во внимание (4) и (6), мы можем применить не равенство Пэли — Зигмунда (см. стр. 48) для оценки Р) (t). Получим
P/(W)I2 >-^2 2 e2(^)«r(*2)br,,
где X — произвольное число, заключенное между 0 и 1, а т)=(1—A2) min(l/3, 1/(4С)). Возьмем А.2 = 1/2 и положим
Р« (0><г/)>т1/2.
Это верно |
для |
каждого |
t, |
в |
частности |
для t = t*. |
||||
Полагая y, = |
p ; + ( ^ ) и |
со = (со,, со2 |
со,, . . . ) (со/ей,), |
|||||||
имеем |
У/(со) = |
Уу (со,, |
|
coy)^= 0 и |
|
|
||||
|
|
|
|
Jy/ (co)P/ (dco/ )>|a/ , |
|
|
||||
|
|
|
|
о, |
|
|
|
|
|
|
каковы |
бы ни были со,, |
|
со/_,. Более того, |
|||||||
|
|
|
|
2 / < n <2/+' |
|
|
|
|||
Следовательно, |
& (У,) >(т)/2) а,, |
# (У2) = 2сг/ и |
||||||||
|
* ( У , + |
. . . + У / ) > ( т 1 |
/ 2 ) ( 0 1 + |
. . . + а,), |
||||||
<г1 /2 ((у, + |
. . . + |
у,)2 ) < |
if'2 |
(к2 ) + |
.. . + |
#"2 |
(у2 ) = |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
= У~2(о1 + .. . -fa,). |
||
Применяя |
неравенство |
I I (стр. 19), получаем |
||||||||
Р (У, + |
. . . + У, > Л (л/2) (а, + |
• •. + а/)) > |
(1 - Я ) 2 ( л 2 / 8 ) . |
|||||||
НЕРЕГУЛЯРНОСТЬ. УСЛОВИЯ НА КОЭФФИЦИЕНТЫ |
129 |
Принимая во внимание (5), имеем |
У| + . . . -f- |
Yi^.H]+l, |
|||||
а согласно |
лемме |
3, HJ+i |
<[sup F(<)=%;|| FH^. Следова |
||||
тельно, |
|
|
|
|
|
|
|
Р ( I I F I L |
> |
Л (Л/2) (а, + |
. . . + |
а/)) > ( 1 - Л*) (rf/8). |
|||
Поскольку |
мы |
предположили, |
что ряд (I) п. н. пред |
||||
ставляет ограниченную функцию, то сумма ст, + |
... + 07 |
||||||
|
|
|
|
|
|
со |
|
ограничена |
числом, |
не зависящим |
от /, т. е. 2а/ |
< 0 0 • |
|||
Но так как |
|
|
|
2 |
|
|
|
а/>(е/2)(з/4)/ |
|
&(xl))m, |
|
||||
ТО |
|
|
\2/<п<3-2/-' |
/ |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i f |
2 |
|
|
00. |
|
|
|
/=' \2'^/t < 3-2/—1 |
/ |
|
|
|||
Если вместо ряда (1) мы рассмотрим ряд |
|
||||||
со
2** COS (Зя/ + Ф„), 1
представляющий F(3/), то получим
2( 2 #(Х)У/2<°о.
/=| \2/<Зп<3-2/-1 |
/ |
Наконец, поскольку |
|
2/<п<3-2/-1 |
2/+2<Зп<3.2/+1 |
оо |
|
ТО 2 S/ < оо. |
|
1
Мы доказали следующее. Пусть ХП удовлетворяет условию регулярности (4), ХП и Ф„ независимы и ФЛ равномерно распределена на [0, 2я]. Тогда, если (1) е= L°°
п. н., |
то *20 0 s / < 0 0 |
• Согласно закону нуля и единицы, |
|
|
со |
i |
|
|
|
|
|
из |
2$/ |
= оо следует, что (l)e£L°° п. н. |
|
б |
Ж.-П. Кахан |
|
|
130 |
ГЛАВА |
VIII |
|
|
4. |
Неограниченность; |
общий |
случай |
|
Теперь вернемся к общему |
ряду |
(I), где Хпе1Ф* — |
||
независимые |
симметрические |
комплексные случайные |
||
величины, не предполагая, что Хп и Ф„ независимы.
Вероятностное |
пространство |
обозначим |
через £1ХФ- |
||||||||||||
Введем |
два |
других |
вероятностных |
пространства |
|
||||||||||
и Qe с последовательностью |
Штейнгауза |
(1/2я) Х¥П |
на |
|
|||||||||||
н |
с последовательностью |
Радемахера |
е„ |
на Qe |
и |
рас |
|||||||||
смотрим |
случайный |
ряд |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
со |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 * „ с о 8 ( д * + Ф я |
+ |
ч д , |
|
|
|
(7) |
|||||
|
|
|
|
п=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
заданный |
на |
Qxw |
= |
&ХФ X йу, |
и |
ряд |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
со |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
*„е„соз(л* + |
Ф„), |
|
|
|
|
(8) |
|||
|
|
|
|
п=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
заданный |
на |
й*фВ |
= |
Qxa> X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Для любых |
фиксированных |
|
и ср„ случайные вели |
|||||||||||
чины хпе1 |
(ф ч+ ч г п) |
и |
xneiWn |
подобны. Поскольку |
|
Хпе1Фп |
|||||||||
и |
независимы, |
величины |
|
Хпе1^п+ЧГп^ |
и |
|
XneiVn |
||||||||
подобны, |
а потому ряд (7) |
и |
ряд |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
2 z „ c o s H + |
^„) |
|
|
|
|
(9) |
||||
также подобны. Более того, поскольку |
Хпе{Фп |
симмет |
|||||||||||||
ричны, ряд (8) подобен ряду (1). |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
Пусть |
Хп |
удовлетворяют |
условию |
регулярности |
(4) |
|||||||||
|
оо |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и 21 s / = °°. Мы уже доказали, что (9)c£L°° п. н.
Следовательно, (7) ф Ь°° почти наверное (в £1ХФЧГ)- Иными словами, почти наверное (в йхф) (7) ф. Ь°°, почти навер ное (в Qw):
п. н. (йХф) (7) ф Ь°° п. н. (Qw).
Теперь применим теорему Билларда (см. стр. 88), ко торая утверждает, что ряд Радемахера и ряд Штейн гауза с равными коэффициентами представляют огра ниченную функцию с одинаковой вероятностью. Следо-
НЕРЕГУЛЯРНОСТЬ. УСЛОВИЯ |
НА КОЭФФИЦИЕНТЫ |
131 |
|||||||||
вательно, |
|
|
|
(йХф) (8) ф С |
|
|
|
|
|||
|
|
п. |
н. |
п. н. (QE). |
|
|
|||||
Но так как (8) и (1) подобны, то (Х)фЦ° п. н. |
|
||||||||||
Таким |
образом, |
доказана |
|
|
|
|
|
||||
Т е о р е м а |
1. |
Если Хп |
удовлетворяет |
условию |
регу- |
||||||
|
|
|
оо |
|
— OO, то ( 1 ) ^ 1 ° ° |
|
|
|
|||
ЛЯрНОСТи (4) |
U 1^iSj |
п. |
н. |
|
|||||||
Сравнивая |
с |
теоремой |
1 |
гл. |
V I I , получим |
более |
|||||
точный результат: |
если sup {&(Хп) |
8~2(Хп)) |
< оо |
и по- |
|||||||
|
|
|
|
S/ |
|
п |
|
|
|
|
|
следовательность |
убывающая, |
то (1)с=С п. н. или |
|||||||||
(l)c^L°° |
п. |
н. |
в |
зависимости |
от |
того, |
сходится |
или |
|||
расходится |
|
0 0 |
|
|
|
|
|
|
|
||
ряд 2 |
S/. |
|
|
|
|
|
|
||||
Б. Нерегулярность почти всюду
Теперь докажем более точный результат, который является в некотором смысле обратным к теоремам 2 и 3 гл. V I I .
Т е о р е м а 2. Пусть ряд |
(1) |
п. н. |
представляет не |
|||
прерывную |
функцию |
F. Далее, |
пусть |
Хп |
удовлетворяет |
|
условию |
регулярности |
(4) и |
lim |
(2P / /- V s;) |
> 0 ( р > 0 ) . |
|
Тогда п. |
н. |
|
|
|
|
|
ШF « + h ) - F ( t ) > o
„_>+() |
logV 1/А |
почти всюду.
Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть заданы t и h. Рассмотрим случайную величину
оо
A = F(t + |
h)-F(t)==-2^iXnsin^-sm(nt-\-j: |
+ On). |
|
Положим |
|
n=I |
|
|
|
|
|
Д' = |
- 2 |
* „ s i n - ^ s m ( n f + |
A/2 + a>„), |
|
|
2я/3 < лл< 4н/3 |
|
Д " = А - Д' .