ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 21.10.2024
Просмотров: 133
Скачиваний: 0
132 |
|
ГЛАВА VIII |
|
|
|
|
|
Тогда А' и А" — независимые |
случайные |
величины, |
|||||
причем |
А" симметрична. |
Следовательно, |
|
|
|
||
|
Р(Д > х ) > Р ( Д ' > л : |
и А " > |
Q) = ~P(Af>x). |
(10) |
|||
Оценим Р (А' > х) с помощью неравенства |
I I |
на стр. |
19. |
||||
Так |
как |
А'симметрична, |
то Р (А' > х) = |
-у- Р (I А' | > |
х) |
||
(х > |
0). |
Следовательно, |
|
|
|
|
|
Р ( А ' > ^ " 2 ( А ' 2 ) ) > | ( 1 - Я 2 |
) 2 |
^ ^ |
( 0 < Я < 1 ) . |
(11) |
||||||
Далее, |
имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 (А'2 ) = |
4 |
2 |
8 |
(Х*п |
sin2 |
f |
sin2 |
(nt + \ + Ф „ ) ) > |
||
|
|
2я/Зл<п<4я/ЗЛ |
2 |
^(4эд2(«н{ + Фл)), |
||||||
|
|
|
>з |
|||||||
|
|
|
2я/ЗА<л<4я/Зп |
|
|
|
|
|||
# ( Д ' 4 ) < 1 6 ( |
2 |
|
a r W ) + |
|
|
|
||||
|
|
\2я/Зл<я<4я/ЗЛ |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
+ |
6 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2я/Зл<т<п<4я/ЗЛ |
/ |
||||
Пусть |
/ — бесконечное |
множество |
положительных |
|||||||
целых |
чисел |
/. Далее, |
пусть |
Н=*Щ- • 2~' — 1г1 и |
Д' = |
|||||
= А/ = |
А/(0- |
Сравним |
#(Д/2 ) и s). Если Е — множество |
|||||||
положительной меры на окружности, то по теореме
Римана — Лебега |
имеем |
|
|
|
|
|
||
j * |
sin2 |
(nt + |
<vn)dt=±\E\ |
|
+о (\) |
(/г->оо) |
||
E |
|
|
|
|
|
|
|
|
равномерно |
относительно |
ш„. Следовательно, |
||||||
\ |
$ (А/2 (0) dt > | | |
Е |
| s2 |
+ |
о (s2) |
( / о о ) . |
||
Е |
|
|
|
|
|
|
|
|
Отсюда |
следует, |
что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
v \ |
1 |
> 0 |
|
|
|
|
/ - > с о , / < = / |
|
|
|
|
|
для почти всех Z.
НЕРЕГУЛЯРНОСТЬ. УСЛОВИЯ НА КОЭФФИЦИЕНТЫ |
133 |
Условие регулярности |
Хп |
влечет |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
lim |
— ^ — — < |
оо |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
1->оо |
|
Sj |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
для |
всех |
|
|
Далее, |
иэ |
(11) |
следует, |
|
что |
для |
почти |
||||||
всех |
t существуют |
два |
положительных |
|
числа |
р, = р, (t) |
|||||||||||
и e = |
e(t), |
|
для которых |
Р (А/ > u.S/) > е при |
бесконечно |
||||||||||||
многих / с = / . |
Отсюда, |
учитывая (10), |
получим |
|
|||||||||||||
|
|
|
P(F(t |
+ |
h,)-F{t)>\is,)> |
|
|
в/2 |
|
|
|
||||||
для бесконечно многих |
/ с= /; |
следовательно, |
|
|
|||||||||||||
|
р |
/ |
— |
F(t |
+ hi)-F(i) |
— > 0 |
\ |
> е / 2 . |
|
|
|||||||
|
|
Mm |
|
|
т |
|
|
|
|
|
|||||||
Согласно |
|
закону |
нуля |
и |
единицы, |
эта |
|
вероятность |
|||||||||
равна |
1. |
Наконец, |
имеем |
п. н. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
lim |
F(t |
+ |
|
h,)-F(t) |
> 0 |
почти |
всюду. |
(12) |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Отсюда, выбирая / так, что |
|
lim |
2Р / / |
ys, |
> |
0, полу- |
|||||||||||
чаем |
заключение теоремы. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
В качестве другого следствия из (12) получим один |
|||||||||||||||||
результат |
|
о производных |
числах функции |
F. |
Пусть |
||||||||||||
^ ( 0
F4(t)
FK(t)
F*{t)
|
lim |
F(t |
+ |
h)- F{t) |
= ft-> + 0 |
|
h |
||
= |
lim |
F(t |
+ |
h)- F(t) |
|
hT+0 |
|
|
h |
|
F(t)-F(t |
-h) |
||
= |
lim |
|||
|
ft-» + 0 |
|
h |
|
= |
lim |
F(t)-F(t |
-h) |
|
|
ftT+o |
|
|
h |
|
|
|
|
|
—четыре производных числа функции F в точке t. Если lim(2!Sj) = оо, то из (12) следует, что п. н. F*(t) = -\-<x> почти всюду. Аналогичные результаты получим для других производных чисел, рассматривая F(—t),
— F(t) и —F(—t). Следовательно, справедлива
134 |
ГЛАВА VIII |
Т е о р е м а |
3. Пусть ряд (1) п. н. представляет не |
прерывную функцию, выполнено условие регулярности {А)
и |
nm2 / s / = |
oo. |
Тогда п. |
н. F* (/) = FK{t) = |
+ °° |
" |
F* |
(t) = F*(t) |
— — oo почти |
всюду. |
|
|
|
|
Отметим, |
что в последнем утверждении нельзя |
за |
|||
менить «почти |
всюду» на «всюду», поскольку |
F* (t) |
О |
|||
в тех точках t, где F{t) достигает максимума.
6. Нерегулярность всюду Теперь мы докажем более точный результат.
Т е о р е м а |
4. |
Пусть |
ряд |
(1) п. н. представляет непре |
|||||||||||
рывную |
функцию |
F и выполняется |
условие |
регулярности |
|||||||||||
(4). |
Если |
Игл (п2а+[&(Хп)) |
> |
0 (0 < |
а < |
1), то почти |
на- |
||||||||
верное |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ПпТ \ p ( t |
+ h)-FW\ |
> |
о д л я |
к |
а з / с |
д о г о |
t |
|
|
|
|||
|
|
л->о |
|
1А|а |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Если |
lim ( д 3 ^ (х2п)) |
> 0, |
то почти |
наверное |
F |
нигде |
не |
||||||||
|
П-» оо |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
дифференцируема. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Изложим идею доказательства. Если в точке / |
|
||||||||||||||
|
F(t + h)-F(t) |
|
= o(\h\a) |
(h->0, |
0 < < х < |
1), |
|
||||||||
то суммы |
Фейера |
функции |
F{t)e~iU |
|
( A ^ v ) |
при v-*oo |
|||||||||
равномерно имеют |
порядок |
o ( v - a ) (см. предложение |
|||||||||||||
1 ниже). Выберем две |
последовательности |
vt |
и Ау так, |
||||||||||||
что А/ + V / ^ A / |
+ 1 |
— v / + 1 |
. Тогда соответствующие |
суммы |
|||||||||||
Фейера |
Pt |
при |
у-^-оо |
удовлетворяют |
условию |
Pj(t) |
= |
||||||||
— °{yja)- |
|
Кроме того, Pj — независимые случайные три |
|||||||||||||
гонометрические полиномы, поскольку каждый коэффи циент Фурье функции F входит не более чем в один из Pj. Мы приходим к следующей задаче: какова веро ятность того, что система неравенств \ Pj(t) \ < at имеет решение? Мы оценим эту вероятность (предложение 3) и после этого будем в состоянии закончить доказательство.
НЕРЕГУЛЯРНОСТЬ. УСЛОВИЯ НА КОЭФФИЦИЕНТЫ
|
Начнем |
с |
двух |
предложений |
об |
обычных |
рядах |
||
Фурье. Положим |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
-V+I |
|
|
-V+1 |
|
|
|
|
|
я |
|
_ j |
2v—2 |
|
|
|
|
|
|
— Я |
|
|
|
— 2v+2 |
|
Далее, |
для |
заданного |
тригонометрического |
ряда |
|||||
со |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
fnetn' |
положим |
|
|
|
|
|
||
— со |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=—V+I |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2v-2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=-2v+2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
CO |
|
|
|
|
П р е д л о ж е н и е |
1. Если |
fneint |
— ряд |
Фурье не- |
||||
|
|
|
|
|
|
— со |
|
|
|
прерывной |
|
функции |
f и если |
|
|
|
|||
|
|
f{t + h)-f(t) |
= |
o{\h\a) |
при |
й - > 0 |
|
||
(t |
и а фиксированы, |
0 < а < 1), то |
|
|
|||||
|
а>,v(t) |
= o(v~a) |
v - > oo |
« A , ^ v |
|
||||
равномерно |
относительно К. |
|
|
|
|||||
|
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
Имеем |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
я |
|
|
|
|
|
|
|
<*.v(0 = -5r J f ( / - « ) e ' ^ / C v ( « ) r f « . |
|
|||||
—я
I
Но так как A.)>v, то
я
ox v (0 = i J (f С - ") - / (/)) ea"/Cv (и) rf».
136 ГЛАВА vm
Поскольку |
|
I f(t — u) — f(t) K l и |а т](| к I), где Итт](и) = 0, |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u->0 |
ts i \ ^ |
я? sin2 (vu/2) |
|
г |
|
|
i |
|
|
|
|
||
a / C V ( " X |
|
VM2 |
н а |
[—л> л1» т 0 |
|
|
|
|
||||
|
|
СО |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| a A , v ( 0 K « J |
|
Л (и) «t t |
" " ' УrfH= o(v-«). |
|||||||||
|
|
О |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
со |
|
|
|
|
П р е д л о ж е н и е |
|
2. Вели |
2 |
frte'"'— ряд |
Фурье не- |
|||||||
прерывной |
функции |
|
f |
и |
|
— оо |
дифференцируема |
|||||
|
если |
f |
||||||||||
в точке t, |
то |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ol,v(t) |
= o(v~1) |
|
при |
|
V—> оо |
и |
Aj>2v |
|||||
равномерно |
относительно Я. |
|
|
|
|
|
|
|||||
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
Имеем |
|
|
|
|
|||||||
|
|
я |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
<т£. v ( 0 = |
"ЙГ J (f (< ~ |
«) - |
f (0 + |
Г ( 0 sin и) e'*«Z.v (и) rfu, |
||||||||
|
|
—я |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
оо |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
г « |
и\ |
\ ^- Зл3 Г |
|
/ |
\ |
sin'' (ги/2) |
, |
, .. |
||||
|ffX.v(OI<27j |
|
|
|
— ^ T L d |
u = |
°(v~1)- |
||||||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7. Совместные |
|
неравенства |
|
|||||||
Теперь |
рассмотрим |
|
независимые |
симметрические |
||||||||
комплексные |
случайные |
величины |
Л / п ; / = 1 , 2 , . . . ; |
|||||||||
га = — v, |
— v + 1 , |
|
|
V — 1, v. Пусть |
|
|||||||
|
|
Р Д О = |
2 |
|
А,ае™, |
|
|
|||||
|
|
|
|
I |
|
n=—v |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
V |
|
|
|
\1/2 |
|
|
||
и пусть |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
для каждого |
/ и га. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
П р е д л о ж е н и е |
|
3. Обозначим |
через |
Е |
следующее |
|||||||
событие: существует |
такое t, |
что \ Pj(t) 1^4" 9/ <^л я /' = |
||||||||||