Файл: Кахан, Ж. -П. Случайные функциональные ряды.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 21.10.2024

Просмотров: 114

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

224

ГЛАВА xnl

рядами. Кроме того, если с_„ = сп , то простые вычи­ сления дают

If (Re (cnZneint

+ c_„Z_„e-"") X

 

X Im (c„Zn e""' + c_f l Z_„e -""')) = 0,

каковы бы ни были t и t'. Отсюда следует, что дейст­ вительная и мнимая части ряда (3) независимы; иными словами, ряд (3) может быть записан в форме

со

2о а„ (Z,'j cos nt + Z'H sin nt),

где Z6, Zo, Z\, Z'[, ... — комплексная нормальная по­ следовательность.

Мы рассмотрим также р-кратный случайный ряд

 

 

 

 

со

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 an(Xncosnt

+

y„sinn0 .

 

(4)

 

ап

(п =

0,

о

 

 

 

 

 

 

где

1, . . . ) —положительная последователь­

ность,

а Хп

и У„ — подобные

независимые

гауссовские

случайные величины

в кр.

Этот ряд называется

р-крат-

ным

действительным

гауссовским

тригонометрическим

рядом.

Удобно

предположить,

что &( \ Хп?)

— Р-

Тогда

все координатные ряды в (4) будут иметь форму ряда (1). Конечно, эти координатные ряды независимы.

Все результаты для случайных тригонометрических рядов могут быть применены и к гауссовским тригоно­

метрическим рядам. Сначала мы дадим обзор

основ­

ных результатов, относящихся к регулярности и

нере­

гулярности (п. 2). Затем мы ограничимся случаем,

когда

ряд (1) п. н. представляет непрерывную функцию. Сумма

ряда (1) будет обозначаться

через F(t),

а сумма

ряда

(4)— через F (t).

 

 

 

Основная часть главы будет посвящена изучению

множества значений и нулей

функции F

(или F).

Сна­

чала мы изложим ряд известных результатов о емкостях и хаусдорфовой размерности компактных множеств в Rp (п. 3). В п. 4 мы рассмотрим множество значений функ­ ции F на заданном компактном подмножестве Е круга. В частности, мы получим оценку снизу и сверху для размерности множества F (£). Например, если предпо-

 

 

 

ГАУССОВСКИЕ РЯДЫ ФУРЬЕ

 

 

 

225

ложить,

|3

что

ап

=

п-Чг-а

(п—1,

2,

О <

а < 1),

d i m £ =

и

/ ? > р / а ,

то

имеем

п. п. dim F (Я) =

р/а;

в этом

случае

множество F(E)

п. н. имеет

наибольшую

размерность, которая допускается

липшицевским

харак­

тером функции F и размерностью множества

Е.

 

 

Если множество значений функции F п. н. имеет

размерность р, то можно ожидать, что

F принимает

одно и то

же

значение

много

раз

и

можно

поставить

вопрос

о емкости

или

размерности

 

множества F~]

(0).

Например, если ап = п-ч2-а

(0 <

а <

l/р),

то с положи­

тельной

вероятностью имеем dimF~*(0) =

1/cz — р (п. 5).

Что касается

техники,

то она

заключается в

том,

что

сначала

формально

определяется

величина

6(F),

где

6 — мера

Дирака,

а

затем

доказывается,

что

она

дей­

ствительно является мерой, сосредоточенной на мно­ жестве F~l (0), с конечной энергией относительно задан­ ного ядра.

Несколько сложнее для некоторых рядов вида (1) определяется величина 6'(F), где б'— производная от б. Она является уже не мерой, а случайной псевдомерой,

сосредоточенной

на F~'(0).

Можно доказать, что с по­

ложительной

вероятностью

 

имеет

место

неравенство

(6' (F),

F) Ф 0.

Это

есть

вероятностный метод

доказа­

тельства

теоремы

Малявэна

о спектральном

синтезе

(п. 6,

7).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

В

следующей

главе

мы

увидим, что ряды вида (1)

являются

не чем

иным,

как

рядами

Фурье

стационар­

ных гауссовских

процессов

на окружности.

 

 

К

множествам

F(E)

мы

еще вернемся в последней

главе.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2. Сводка результатов

Согласно обозначениям, принятым в гл. V I I и гл. V I I I , положим

s, = (2

2

аЛ['2

(/ = 0, 1, . . . ) •

I

2/< П <2/ + 1

/

 

Напомним некоторые результаты, полученные в этих главах:

8 Ж.-П. Кахан

226 ГЛАВА XIII

 

1.

Если

2 5

/

=

 

°°i

то ряд

(1) почти наверное

не

пред-

 

 

 

 

 

 

I

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ставляет

ограниченной

 

функции

(стр.

131).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

оо

/ <

°

°

 

S/ — убывающая

 

 

 

 

 

2.

Если

2 s

и

последователь-

ность,

 

 

 

i

(1)

п. н. представляет

непрерывную

функ­

то ряд

цию

F{t)

(стр.

111).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3.

Если

а=

Ит

(— log S//(j log 2)),

то при а < а п. н.

 

 

 

 

 

 

 

 

/-»

оо

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

F е= Ла ,

а

при

 

а >

о п. н. F ф. Л а

(напомним,

что

запись

F е= Л а ,

а >

1,

означает,

что F ' e / l a _ | )

(сгр.

118).

 

 

4.

£слн

s;

=

О ( 2 - e /

/ v

) ,

0 < р <

1,

у

действительно,

то почти

 

наверное

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а р

 

(h) =

О (АР log"2+Y (1/А))

(А ^

+

0),

 

где

со, (А) — модуль

непрерывности

F

(стр.

114).

 

 

5.

Если

 

ап

=

0

(п-Ч'2-а),

0 < а < 1 ,

то почти

навер­

ное со,(А)=0(Ла

V^og \/п) (частный

случай

предыдущего

результата).

 

 

я-'/2-а)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

для

6.

Если

 

ап>

 

0 < а < 1 ,

го

почти

наверное

каждого

 

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

h->o

 

 

 

| Л | а

 

 

• > и >

 

 

 

 

£слы

а„ >

я - 3 / 2 ,

го

F

п. н. нигде

не

 

дифференцируема

(стр.

134).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Все

эти

утверждения

остаются

справедливыми при

замене

ряда

(1) и

функции

F(t)

рядом

(4)

и

функцией

F(t).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3. Емкости и размерность Хаусдорфа

Пусть Е — компактное множество в Rp, a k(x)— по­ ложительная непрерывная в Rp — {0} функция, стремя­ щаяся-к бесконечности при х-+0. Доопределяя k(0)==ooj мы будем называть k(x) потенциальным ядром в Rp . Если задана положительная мера ц с компактным но­ сителем в Rp, то будем говорить, что она имеет конеч-

 

ГАУССОВСКИЕ РЯДЫ ФУРЬЕ

 

227

ную энергию относительно функции k,

если

 

/ (u.) =

_[

| /е (х — х') и. (dx) и. (dx') < оо.

 

 

RP

RP

 

 

Будем говорить, что множество Е имеет

положительную

емкость относительно функции k и записывать Capfe

Е>0,

если на нем сосредоточена ненулевая

положительная

мера конечной

энергии (емкость CaykE

обычно

опре­

деляется как точная верхняя грань полной массы меры р.

по всем положительным

мерам р,, сосредоточенным на Е

и таким,

что / ( ц - Х 1).

 

 

 

 

 

 

 

Если функция k имеет положительное

преобразова­

ние Фурье

ft,

то

 

 

 

 

 

 

 

 

/ ( ц ) =

[ k(u)\fdu

 

(и =

(ии

...,

up)),

 

 

 

RP

 

 

 

 

 

 

 

 

где p, («) =

J einlu-x\i

(dx) (u • x =

utxt

+ • • • +

U P X P

) -

В этом

 

 

RP

 

 

что k

 

 

 

 

 

 

случае будем

говорить,

является

ядром

положи­

тельного типа. Если вместо меры k (x)dx

берется мера

Дирака,

а

вместо

k(u)

берется 1, то получается пре­

дельный

случай.

В этом

случае запись

С а р £ > 0

будет

означать,

 

что Е

имеет

положительную меру

Лебега.

Если k (х) = | х | _ а , 0 < а < р (это ядро положитель­ ного типа), то вместо положительной емкости относи­ тельно k будем говорить просто о положительной а-ем-

кости и вместо C&^kE

будем писать

СарцЯ.

Емкостная

размерность

множества Е определяется как точная верх­

няя

грань

таких

а,

что С а р а Я > 0 .

Эта

размерность

введена Пойа и Сегё в 1931 г.

 

 

 

 

 

Другое

понятие

размерности

принадлежит

Хаус-

дорфу

(1919 г.), и мы им уже пользовались

для

линей­

ных

множеств (стр.

155). Пусть

h (б), 6 > 0 , — непре­

рывная возрастающая

положительная

функция,

причем

h (0) =

0. Для всякого б > 0 рассмотрим покрытие мно­

жества

Е открытыми

шарами В,,

 

Вп

с

радиусами

Pi,

 

р„, меньшими

б, и положим

 

 

 

 

 

 

h(Bu

BB ) = A(p,)+ . . .

+А(р„);

 

8*

228 ГЛАВА XIII

точная нижняя грань чисел h(Bu

Вп)

по всем

по­

крытиям

В и . . . , В п ( р / < 6 )

обозначается

через

Нй.

Очевидно,

#6' >

Н&, если

б' <

б. Положим

 

 

 

Н =

Н{Е)=

lim Н6

(Н<

оо).

 

 

 

 

 

6-»0

 

 

 

 

Величину Н назовем /г-мерой множества Е или мерой Е

относительно

/г.

 

 

 

 

 

Если

h (б) = ба ,

то

вместо /г-меры будем говорить об

а-мере и писать Н(Е)

= На(Е). Размерность

Хаусдорфа

множества Е

есть точная верхняя грань таких а,

что

На(Е)—оо

и точная нижняя грань таких а, что

Я а ( £ ) = 0 .

Согласно

теореме

Фростмана

([1], стр. 90) емкост­

ная размерность

и размерность

Хаусдорфа

это

одно

и то же. Отныне для размерности Хаусдорфа мно­

жества Е будем употреблять обозначение

 

d\mE.

 

 

Все

эти

определения

и утверждения

легко

перено­

сятся

на

случай,

когда

Е

является

компактным

мно­

жеством

 

на

окружности.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Нам

понадобятся

следующие

 

предложения.

 

 

 

П р е д л о ж е н и е

1.

Пусть

 

Е — компактное

мно­

жество

на

окружности,

a

f

непрерывное

 

отображение

окружности

в

Rp,

такое,

что f е

Л а .

 

Тогда

 

dim f (Е)

^

< ( 1 / а ) d i m £ .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Д о к а з а т е л ь с т в о

следует

 

очевидным

образом

из

того факта, что если задан интервал

 

/,

то

 

существует

шар

 

радиуса

c | / f ,

содержащий

/(/),

причем

с

не

за­

висит

от

/.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

П р е д л о ж е н и е

2.

При

тех же

предположениях

и

при

условии

ар^.

1 имеем

d i m f -

I

( A ; ) ^

1 — ар

для

почти

всех х из Rp (f~'(x)

определяется

 

как

 

прообраз

точки х

при

отображении

f).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Если

задано

h>0,

 

 

то

через

G(Л)

 

обозначим

объединение

всех

«прямоугольников»

/ П Х / ( / « ) >

где

/„ есть

сегмент

[nh,

(ra-f

 

1)Л] (/г =

0,

1, . . .

. . . , [2я//г]). График

/ содержится

в

G (h),

а

мера G (h)

в R p + 1

есть

o{hpa)

при

Л->-0. Если

задано

A-eR",

то

Смотрите также файлы