ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 21.10.2024
Просмотров: 111
Скачиваний: 0
ГАУССОВСКИЕ РЯДЫ ФУРЬЕ |
229 |
через Е(х, h) обозначим объединение сегментов /„, таких,
что х е |
/(/„). |
При всяком |
h это множество содержит |
|||||
/ - | (л;). Имеем |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
mesG(/i)= |
J |
I |
h) \dx. |
||
ЕСЛИ A V |
= |
2 _ v |
И задано |
e > 0, то |
|
|||
|
|
|
^1г%-ра |
[\Е{х, |
A v ) | r f * < оо. |
|||
Поэтому |
|
|
V=I |
рР |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 h%-pa\E{x, |
|
hv)\< |
оо |
||
для почти |
всех х, а |
следовательно, |
||||||
|
|
|
Е(х, |
A V ) = |
o ( f t f - e ) |
|||
для почти всех х. Отсюда следует, что множество f~{ (х)
имеет меру 0 размерности |
1 —pa-f-e для почти всех х. |
||||
Тем |
самым предложение 2 |
доказано. |
|
|
|
В |
следующих |
пунктах |
мы покажем, |
что равенства |
|
|
dimf(£') = |
(l/a)dim £ ' |
и d i m r ' W |
= l — |
ар |
для |
множества |
точек х положительной |
меры |
действи |
|
тельно могут иметь место.
4. Множество значений F
Предположим, что ряд (4) п. н. представляет непре рывную функцию F с множеством значений в Rp . По ложим
оо
Р (0 == 2 а1 (1 — cos nt)
a = |
.. |
- l o g s / |
lim |
— |
|
|
fW^ |
' l o g 2 |
т = |
p— |
- logs, |
lim |
/ l ° g 2 |
|
|
/->co |
Докажем следующие теоремы.
230 ГЛАВА X I I I
Т е о р е м а |
1. |
Пусть |
0 ^ |
а ^ |
т ^ |
1, |
и |
пусть Е — ком |
|||||||||
пактное |
множество |
на |
окружности. |
|
Тогда |
п. н. |
|
|
|||||||||
inf [р, |
^ |
dim Е) < |
dim F {Е) < |
inf (р, ^- dim Е). |
(5) |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
я |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Т е о р е м а |
2. |
Если |
|
_ { |
(Р ( 0 ) о / 2 |
< |
оо, |
го |
множество |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
значений |
функции |
F |
п. н. |
имеет |
положительную |
|
меру |
||||||||||
Лебега |
в Rp. |
Кроме того, |
если |
множество Е имеет по |
|||||||||||||
ложительную |
емкость |
|
относительно |
функции |
|
(p(t))~pl2, |
|||||||||||
то множество F (Е) |
п. н. |
имеет |
положительную |
|
меру |
||||||||||||
Лебега |
в Rp . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Т е о р е м а |
3. |
Пусть |
k — потенциальное |
ядро |
|
поло |
|||||||||||
жительного |
типа |
в |
Rp, |
|
и |
пусть |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
х (/) = |
J х (*) ехр ( - л | х |2 /2р (0) (р (t)rpl2 |
dx. |
|
||||||||||||||
Тогда, |
если С а р и £ > 0 , |
|
то C a p x F ( £ ) > 0 |
п. н. В |
част |
||||||||||||
ности, |
если |
|
Е |
имеет |
положительную |
емкость |
относи |
||||||||||
тельно функции |
(p(t))~a/2 |
|
(0<а<р), |
|
то C a p a J F ( £ ) > 0 |
п. н. |
|||||||||||
Теорема |
1 содержит |
в |
качестве |
частного |
случая ут |
||||||||||||
верждение, сформулированное во введении (а„ = |
я - |
, / 2 _ а ) . |
|||||||||||||||
Второе |
из |
неравенств |
(5) сразу следует из утвержде |
||||||||||||||
ния 3 (см. стр. 226) |
и предложения |
2 (см. стр. |
228). Пер |
||||||||||||||
вое же из неравенств (5), как мы увидим позднее, есть следствие из теоремы 3.
Теорема 2 является предельным случаем теоремы 3, когда мера k (х) dx заменяется мерой Дирака.
Основная идея для доказательства теорем 2 и 3 со
стоит |
в рассмотрении положительной меры dQ(t), со |
|
средоточенной на Е, |
образ которой p. (dx) сосредоточен |
|
на F. |
Согласно определению, для всякой ограниченной |
|
непрерывной на Rp |
функции g имеем |
|
$ g(x)ii(dx)= |
j g(F(t))dQ |
(t). |
|
|
|
|
ГАУССОВСКИЕ РЯДЫ ФУРЬЕ |
|
|
231 |
||||||||
В |
частности, |
преобразование Фурье |
меры |
р. есть |
|||||||||||
|
|
|
р. (И ) = J е, я , н -*|1 (dx) = J |
|
|
|
dQ (t) |
||||||||
(u-x |
= uixl-\- |
... -\-upxp). |
|
Заметим, |
что мера |
д. сосре |
|||||||||
доточена на F(E). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Д о к а з а т е л ь с т в о |
|
т е о р е м ы |
2. Подсчитаем |
|||||||||||
|
|
|
/ = |
\ \(k{u)\2du\ |
= \ |
|
S{\p{u)\2)du. |
|
|||||||
Имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
g |
(I Д. (u) f) = g[ J |
f etof«-(F(fl-i'(/')) |
d9 (0 d9 (*') |
= |
|
||||||||||
|
|
|
|
E |
E |
= |
j" J |
y(e*'«-c«)-''[i'ii) |
|
(ode(tr ). |
|||||
|
|
|
|
|
|
E |
E |
|
|
|
|
|
|
|
|
Рассмотрим |
сначала случай |
p=l |
(F(t) = F(/)); |
исполь |
|||||||||||
зуя формулу |
(2), имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
g |
^ntu {P |
U-)-F it'))}= |
f |
\ g |
(e2*<-«°„ Re (Znc^-Zne^ |
|
|
= |
|||||||
|
|
|
|
|
|
n=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
_ |
J J e - 4 n | u | 2 a 2 s l n 2 n 0 _ O / 2 |
_ |
g -2n |
| u | 2 |
p (/-<'). |
|||||||
|
|
|
|
n=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В |
общем случае |
получим |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Поэтому |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
/ = |
J j | е - 2 я , и 1 3 р ( ^ „ ы , е ( 0 ^ ( п = = / |
J ^ g ^ / f i - |
|||||||||||||
|
£ |
£ |
|
|
|
|
|
|
£ £ V H V |
" |
|
|
|||
|
Если E имеет положительную емкость |
относительно |
|||||||||||||
функции (р (/)) - р / 2 , |
то можно |
выбрать dQ Ф 0 так, чтобы |
|||||||||||||
/ < оо. Тогда |
j j . e L 2 ( R p ) |
|
п. н. Так как преобразование |
||||||||||||
Фурье |
отображает |
L 2 в |
L 2 взаимно |
однозначно, то |
|||||||||||
мера |
d\i п. н. абсолютно непрерывна, |
а ее плотность |
|||||||||||||
п. н. |
принадлежит |
L2(RP). |
|
Следовательно, |
множество |
||||||||||
F(E) |
п. н. имеет |
положительную |
меру |
Лебега. Это |
|||||||||||
232 |
|
|
ГЛАВА ХШ |
|
|
доказывает вторую часть |
теоремы 2. |
Полагая dQ(t) = dt, |
|||
получаем |
первую часть |
этой теоремы. |
|||
Д о к а з а т е л ь с т в о |
т е о р е м ы |
3. Положим |
|||
|
|
|
/ = « Г Ц £(и)1£(и)Р<*«|. |
||
Те же |
выкладки, что и выше, дают |
|
|||
|
/ = |
J |
J |' k (к) е - 2 |
л I " Is Р « - ' ' > du dQ (t) dQ (/'). |
|
|
|
£ |
E RV |
|
|
Используя |
формулу Парсеваля (см. стр. 189), получаем |
||||
/ = J |
J |
|
|
jk(x)e-N^^2P^-^(2p{t-t')rPp-dxdB(t)dQ{l')= |
|
ЕERP
|
|
|
|
|
= |
2 _ P / 2 J |
J к ( / - О dQ (t)dQ {t'). |
||||
|
|
|
|
|
|
|
E |
E |
|
|
|
Если C a p x £ > 0 , |
то можно |
выбрать |
dQ Ф 0 так, |
чтобы |
|||||||
/ < о о ; поэтому |
ц. п. н. |
имеет |
конечную энергию |
отно |
|||||||
сительно |
функции |
к, и, |
следовательно, Cap.^f (£) > 0. |
||||||||
Это |
доказывает |
утверждение |
первой части теоремы 3. |
||||||||
Взяв |
k (х) = | х | - |
а , |
получим |
утверждение |
второй |
части |
|||||
теоремы |
3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Д о к а з а т е л ь с т в о |
т е о р е м ы |
1. Как |
мы уже от |
||||||||
мечали, второе из неравенств (5) следует из предложе
ния |
1 |
и |
известного результата |
о том, |
что |
при |
а < а |
|||
F e A a |
п. н. Для доказательства первого из неравенств (5) |
|||||||||
нам |
понадобится |
следующая оценка: |
|
|
|
|
||||
|
|
p(t)>Ys' |
" Р н |
1 2 4 < t < f 2 - ' . |
|
(6) |
||||
Если |
|
т/ > |
т, то |
имеем |
( р ( 0 ) - ' = |
o(l t | - 2 г |
) |
при |
/ - >0 . |
|
Согласно |
теореме |
3, |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
C a p a t , £ > 0 = > C a p a F ( £ ) > 0 |
п. |
н., |
|
|
|||
а согласно определению |
емкостной размерности, |
|
||||||||
|
|
|
с Н т £ > а т = # С а р в г , £ > 0 |
|
|
|
|
|||