ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 21.10.2024
Просмотров: 110
Скачиваний: 0
|
ГАУССОВСКИЕ РЯДЫ ФУРЬЕ |
233 |
для некоторого |
т/ > т и |
|
Сар а F (Е) > О =Ф dim F (£) > а. |
|
|
Следовательно, |
d i m F ( £ ) ^ ( l / T ) d i m £ п. н., |
что и тре |
бовалось доказать. |
|
|
Этим заканчивается доказательство теорем 1, 2 и 3. Имея в виду дальнейшие приложения, заметим, что
теоремы 1, |
2 и |
3 |
останутся |
справедливыми, |
если по |
||
ложить |
|
|
|
со |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
р (t) = alt2/2 |
+ S |
а\ |
(1 - cos nt), |
|
||
а функцию |
F{t) |
считать |
суммой |
ряда |
|
||
|
|
|
со |
|
|
|
|
|
a0X0t |
+ |
2i (Хп cos |
nt + Y„ sin /г?)> |
(?) |
||
а не ряда (4). Действительно, оценка (6) при этом сохраняется. Единственное изменение в утверждениях и в доказательстве заключается в том, что множество Е следует считать компактным подмножеством точек пря мой, а не окружности.
5. Нули функции F
Предположим снова, что ряды (1) и (4) предста вляют непрерывные функции. Кроме того, пусть вы полнены предположения теоремы 2. Рассмотрим мно
жество F _ 1 (0), |
т. е. множество |
|
всех |
нулей функции F, |
|||||
как случайное |
подмножество |
точек |
окружности. |
Если |
|||||
A-eRp произвольно, то, как |
и |
в предложении |
2 (см. |
||||||
стр. 228), рассмотрим также множество F - ' |
(я). |
Вели |
|||||||
чины р (t), опт |
определены |
в начале |
п. 4 (см. стр. 229). |
||||||
Т е о р е м а |
4. |
Если к(t) |
— потенциальное |
ядро |
поло |
||||
жительного типа |
на |
окружности |
и |
|
|
|
|||
|
|
|
_{(p(t))p!2 |
|
|
' |
|
|
|
то с положительной |
вероятностью |
имеем Cap x F - 1 (0) > 0. |
|||||||
234 |
|
ГЛАВА XIII |
|
|
|
|
|
|
Т е о р е м а |
5. Если |
ар^.1, |
то справедливость |
нера |
||||
венств |
1 — хр < dim F~l |
|
1 — ар |
|
|
|
||
|
(х) < |
|
|
|
||||
на множестве точек х с положительной |
мерой |
имеет по |
||||||
ложительную |
вероятность. |
|
|
|
|
|
|
|
Д о к а з а т е л ь с т в о |
т е о р е м ы |
4. Для |
всякого е > О |
|||||
положим |
|
|
|
|
|
|
|
|
Тг (t) = |
е~WE> |
IF «> lJ = |
J" |
е~™ |
I " |
I, e2 j l i u -F «> |
du. |
|
Можно считать, что Te = |
6e{F). |
Если e стремится к нулю, |
||||||
то бе стремится к мере |
Дирака б (единичной |
точечной |
||||||
массе в нуле пространства Rp ). Мы докажем следую щее: если е стремится к нулю по подходящему мно жеству, то TR п. н. стремится к некоторой мере Т, если выбрать подходящую топологию; мера Т п. н. сосредо точена на Е и п. н. имеет конечную энергию относительно функции к; наконец, мера Т с положительной вероят ностью ненулевая.
Прибавляя в случае необходимости к %(t) некоторую положительную функцию, можем считать, что
п
ft«=i 1»*(0в-'-'л>ттг-
—л |
|
|
|
для всех п. Тогда |
все последовательности |
сп(п= |
|
|
00 |
|
|
= ..., — 1, О, 1, ...), для |
которых 2 |
I сп 1 2 А „ < о о , |
являются |
— со
преобразованиями Фурье распределений на окружности. Допустим, что эти распределения имеют конечную энергию. Распределения конечной энергии образуют гильбертово пространство Ж относительно нормы
\1/2 |
|
|
|
|
|
|
2 1 с л | 2 й „ ) |
. Положительные |
меры |
конечной энергии |
|||
образуют замкнутый |
выпуклый |
конус |
в Ж. |
|
||
В качестве первого шага докажем, что Те п. н. схо |
||||||
дится в Ж |
к некоторому пределу |
Т, |
если е |
стремится |
||
к нулю по |
некоторой |
надлежащим |
образом |
выбранной |
||
|
|
|
|
|
ГАУССОВСКИЕ РЯДЫ ФУРЬЕ |
|
|
235 |
|||||||
последовательности |
е„. Рассмотрим |
квадрат нормы |
в Ш |
||||||||||||
разности |
Те |
— Т^: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
\\те-тп\]% |
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= J |
j (Tt |
(t) - |
Г„ (0) (Ге (?) |
- |
Тл |
(?)) х (* - |
О Л |
аГ. |
||||||
|
т |
т |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Чтобы подсчитать |
его математическое |
ожидание, |
пред- |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
0 0 |
|
|
|
|
|
|
|
положим |
для |
простоты, |
что 2 |
а |
п = |
1 - Последовательно |
|||||||||
получаем |
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
^ ( e 2 n ' e n « e ( H Z |
n « " , ' + » V " , ' , ) |
= |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
= e - « a ' ( « V 2 - 2 « « ' c o s B 0 - « ' ) « |
( ц |
и |
и , |
действительны); |
|||||||||||
|
= e - n a 2 ( | U | 2 + | U ' | 2 - 2 « - « ' c o s n 0 - t ' ) ) |
( u e R P j |
U / = |
RP). |
|||||||||||
$(e°-nl |
(a/^O+u'f (*')>) — е-л{ |
I u |4I |
|
I2—2""' (1-P С-''») = |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
в - я , ( в . о ' ; |
t-t>). |
(8) |
|
# ( M 0 7\,(0) |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
= |
|
J |
J е - л (e I u I'+Tl I «' |»)e-nq («, «'; <-<') rf« d«'; |
(9) |
||||||||||
|
|
|
R P |
R* |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
«"(11 r . - r j f O ^ |
J |
J |
J ( e - « B l « l « _ e - « i l « l * ) X |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
IT |
R P |
R" |
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
( е - я е |
I " ' | |
J |
— е-л 1 11"' I2) е - л ? < " - « |
2ях (0 d« dV Л . |
(10) |
|||||||||
Наконец, используя формулу (13) (см. стр. 190), получаем
Согласно предположениям теоремы 4, последний инте грал сходится. Поэтому, применяя теорему Лебега к правой части равенства (10), находим
lim 8(\\Тг-Т^\?) |
= Ъ. |
е, Ti->0 |
|
236 ГЛАВА XIII
Выберем последовательность |
е,„ стремящуюся к нулю |
так, чтобы &{\Ttn+l-TBnf)< |
1/2". Тогда |
* ( l 4 + I - r B U ) < 7 F '
* ( | | Ч + 1 - М ж ) < о о ,
и поэтому |
со |
|
|
|
|
|
£llTe«+i-T*n\ac<0° |
п- |
Положим T = lim ТЕ (т. е. |
lim I Г — Ге II = 0V Тогда Т |
|
будет мерой с конечной энергией. Кроме того, по
скольку Те |
стремится |
к нулю вне любой |
окрестности |
|
множества |
F~* (0) |
(т. е. |
|
|
|
Н т ( Г „ |
g) = |
lim Г Te(t) g(t)dt = |
0 |
|
е->0 |
|
е->0 ^ |
|
для всякой непрерывной функции g, которая обращается
в нуль |
в окрестности |
множества F _ l (0)), то мера Т |
||||
сосредоточена |
на |
F~l (0). Более того, легко проверить» |
||||
что Т |
не зависит |
от |
выбора |
последовательности |
е„, |
|
но этот факт нам не понадобится. |
|
|||||
Последний |
шаг |
состоит в |
доказательстве того, |
что |
||
с положительной вероятностью мера Т ненулевая. Для
каждого е > 0 |
имеем |
|
|
<Г ( J" Т& (0 dt\ = |
J" е~ л е I " l J J S (e2«««^«)) dt du = |
||
|
= |
Г е - я е | Н | ^ - л | И | ^ ы = |
__1 |
|
|
J |
1 + е |
и на основании |
(9) и |
(11) |
|
1т |
J J |
т ( 1 - ( « - Р ( 0 ) 1 ) р / я |
ГАУССОВСКИЕ РЯДЫ ФУРЬЕ |
237 |
Поэтому (см. неравенство I I на стр. 19)
где |
у н е |
зависит |
от е |
(е < 1/2). |
Если |
ТЕп |
стремится |
|
к Г в Ж, то J" Т&п |
(t) dt |
стремится |
к значению меры Т |
|||||
|
|
т |
|
|
|
Р(7'=7^0)>у- Этим |
||
на |
всей |
окружности. |
Поэтому |
|||||
заканчивается доказательство теоремы |
4. |
|
||||||
|
Сделаем два |
замечания. |
|
|
|
|||
|
1.. В отличие |
от большинства известных |
нам теорем |
|||||
заключение теоремы 4 в общем случае не выполняется
почти |
наверное. Действительно, если я э велико в срав- |
|||
|
со |
|
|
|
нении |
с 21а»> т 0 |
почти очевидно, что с положительной |
||
вероятностью множество |
F~ (0) пусто. |
|||
2. |
Один из |
способов |
обобщения |
теоремы 4 состоит |
в замене функции F функцией F — f, |
где / — произволь |
|||
ная непрерывная на окружности функция со значениями
в |
Rp. Для этого |
надо |
соответственно изменить |
опре |
|||||||||||
деление |
Тг |
(т. е. |
положить |
Ге |
= |
бе (F — / |
) , |
а |
вместо |
||||||
q(u, |
и'; |
t — t') |
в (8), (9) и (10) |
писать |
q(u, |
и'; |
t — t') + |
||||||||
+ |
2i(u • / ( 0 + |
• f {?'))• Затем снова можно определить Т |
|||||||||||||
и |
доказать, |
что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
p ( C a P ) ( ( F - f r l ( 0 ) > 0 ) > 0 . |
|
|
|
|||||||
|
Д о к а з а т е л ь с т в о |
т е о р е м ы |
5. |
Второе |
неравен |
||||||||||
ство |
следует |
из |
предложения |
2 |
и |
того |
факта, что |
||||||||
F e A „ |
п. н. |
при |
а < а. |
Первое |
неравенство |
следует |
|||||||||
из |
теоремы |
4 и того |
факта, что |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
( р ( 0 Г ' |
= |
о ( Ш " 2 т ' ) |
при |
т / > т . |
|
|
|
||||
6. Определение 6( < ? ) (F)
Для простоты рассмотрим лишь случай р = 1 . Мера Т, определенная в последнем пункте, формально может быть записана в виде
Т = б [F) = j e2nluF W du.
R