ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 21.10.2024
Просмотров: 108
Скачиваний: 0
238 |
ГЛАВА XIII |
|
Для всякого |
натурального <? положим |
|
Tq |
= б( 7 ) (F) = J* (2пШ)" e2jlluF «" du. |
(12) |
|
R |
|
При некоторых условиях можно ожидать, что Tq может быть определено как распределение, сосредоточенное на f - ' ( 0 ) .
В качестве пространства распределений рассмотрим
@~С (у > |
2). Пространство |
|
состоит |
из таких |
распре |
|||||
делений |
S |
на окружности, |
ряды |
Фурье которых |
при |
|||||
надлежат |
/v , |
т. е. |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
— оо |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/ |
оо |
|
у/у |
|
|
|
При |
каких |
условиях интеграл (12) сходится в ЗГС? Мы |
||||||||
дадим достаточное условие для этого. |
|
|
|
|||||||
Т е о р е м а |
6. Предположим, |
что г > 2{q + 2), |
г> |
|||||||
>у(а+Щу-2) |
|
и |
|
|
|
|
|
|
||
|
I |
I (ija «s i n 2 ( t t s / 2 ) s i n 2 ( n < / 2 ) ) |
d s d t <°°- |
|
(13) |
|||||
Тогда |
имеем |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
[ | и |?|| e2nlaF ('> || у du < оо п.н. |
(14) |
||||||
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
и равенство |
(12) определяет |
случайное |
распределение |
|||||||
Tq^&~ly, |
|
сосредоточенное |
на |
F-1 {0). |
|
|
|
|||
Д о к а з а т е л ь с т в о . Согласно неравенству Гёльдера, |
||||||||||
|
1 | 5 | | ^ < | | 5 | | - 2 | | 5 | | ^ |
|
при { L + ^ Y , |
|
|
|||||
ГАУССОВСКИЕ РЯДЫ ФУРЬЕ |
239 |
и поэтому #~/2 -норма |
это не |
что иное, |
как Р-норма. |
|||||
Поэтому, если |
2 < у < 1 4 и р = (у — 2)12, |
то имеем |
||||||
|
||е2Я |«ло |
| | ^ v < | | е |
1 я ш щ ^ |
|
|
|
||
Чтобы |
доказать |
(14), нам достаточно |
лишь |
доказать, |
||||
что п. н. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
со |
|
|
|
|
|
|
|
|
j |
и" He^iuF^\tpJtdu |
<оо. |
|
|
(15) |
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
Если а' > 2у (q + |
1)/(Y — 2) — 1, то на основании |
неравен |
||||||
ства Гёльдера |
(15) следует из условия |
|
|
|
||||
|
|
со |
|
|
|
|
|
|
|
|
J* u"'\\eZlliuF^\iy.ltdu |
< оо. |
|
(16) |
|||
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
Чтобы |
доказать, |
что (16) выполняется |
п. н., докажем, |
|||||
что математическое ожидание левой части (16) конечно.
Положим U") = &(\\e'i*tuFWb-J- |
И |
м е е м |
|||
||e2 *'"f |
» Ч 1 ^ |
= |
|
|
|
|
= |
_ 1 _ |
J J J e tai« IF Ы - F (s-o-F |
(*'-<» as ds' dt. |
|
|
|
|
т |
|
|
После |
обычных |
выкладок получаем |
|
|
|
|
|
|
т» |
|
|
|
|
|
со |
|
|
|
Ф С s ) = 21 а\ sin2(/ts/2) sin2 |
(л#2). |
|||
Теперь математическое ожидание левой части (16) равно
оо |
|
J u"'l{4)du |
= - ^ - J" J" u < 7 ' e - I 6 * " 2 ( I > ( ' ' s ) d M ds |
1 |
¥5 |
240 |
|
|
ГЛАВА XIII |
Выбирая |
(q' - j - 1)/2 = |
г, получаем (14) при условии |
|
2 < у ^ |
4. |
Требуемый |
результат будет тем более спра |
ведлив |
при у > 4. |
|
|
Поэтому интеграл |
в (12) сходится в пространстве SFly |
||
и Tq действительно является случайным распределе
нием, принадлежащим @~1У. Чтобы |
доказать, что оно |
||
сосредоточено на множестве F~l(0), |
рассмотрим |
рас |
|
пределения |
|
|
|
|
Т„, е = 62й(F) = j (2ши)'е - Я Е " г |
е 2 я ' ^ <" da |
|
|
R |
|
|
(бе |
та же функция, что и в п. 5 на стр. 234). Очевидно, |
||
Tq<& |
сходится к Tq в Sn v при е - >0 . Кроме того, Г , | Е |
стре |
|
мится к нулю вне произвольной окрестности множе ства F~l (0) (т. е.
для всякой бесконечно дифференцируемой функции g, равной нулю в окрестности F- 1 (0)). Следовательно,
Tq сосредоточено на' множестве F~l{0) и теорема 6 доказана.
|
В качестве |
примера |
рассмотрим |
случай |
ап |
= |
п~112~^ |
|||||
( л = 1 , |
2, |
|
п > 0 ) . Е с л и ^ • 2~1 |
^~2~'~1 |
|
и |
s^t, |
|||||
то |
имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
оо |
|
|
|
|
|
Поэтому (13) выполняется, если 2 |
2~*22г]1г |
< |
со, т. е. |
|||||||||
если |
2 г | Г < 1 . |
Если г > 0 задано, |
то |
всегда |
можно |
|||||||
выбрать |
г] |
так, |
чтобы |
выполнялось (13). |
Напомним, |
|||||||
что |
F е= Л а |
п. н., |
если |
а < т). |
|
|
|
|
|
|||
|
В качестве другого примера возьмем |
ап |
= 4~1ц, если |
|||||||||
п = |
4', |
и |
о„ = |
0, |
если |
п не равно |
степени |
четырех. |
||||
Пусть Gj — подмножество точек квадрата 0 ^ 5 ^ 2 я ,
ГАУССОВСКИЕ РЯДЫ ФУРЬЕ |
241 |
|
0 < * < 2 J X , где |
|
|
| sin(4/ s/2) | > ] / 2 / 2 и |
| sin (4'*/2) | > |
|/2/2 , |
и пусть Я / — подмножество |
всех точек из |
С/, не при |
надлежащих никакому множеству Gk (k < у). Построив чертеж, легко заметить, что мера Я, равна (3/4)'я2 ; объединение множеств Я/ заполняет почти весь квадрат 0 ^ s ^ 2 n , 0 ^ / ^ 2 я . Следовательно, (13) выполняется, если, выбрать т) достаточно малым, например так, что
2 ( | ) / 4 2 ^ / < о о .
Снова f e A j п. н., если а < т|.
7. Теорема Малявэна о спектральном синтезе
Теорема 6 не является удовлетворительной, поскольку мы все же не доказали, что с положительной вероят-
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
оо |
|
|
|
|
ностыо |
Tq |
отлично |
от |
нуля. |
Если |
2 |
ап < |
°°, то |
это |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
будет |
вытекать из |
следующей |
теоремы: |
|
|
|
|||||||||
Т е о р е м а |
7. |
Пусть |
снова |
выполнено |
условие |
(13) |
|||||||||
оо |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и 2 ап < 0 0 |
• |
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Р((Та, |
В")Ф0)>0. |
|
|
' |
|
|
(17) |
||||
Поясним |
смысл |
неравенства |
(17). |
На |
основании |
||||||||||
|
|
|
оо |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
предположения 2 |
ап < 0 0 |
имеем F^&~ll |
|
п. н. Поскольку |
|||||||||||
|
|
|
о |
|
|
Fq |
es ff'l1 |
|
|
|
|
|
|
||
есть |
алгебра, |
то |
п. н. Далее, |
так |
как |
||||||||||
Tq G E S 2 " / 0 0 |
П. н., то (Т0, |
F4) |
можно определить с помощью |
||||||||||||
равенства |
Парсеваля. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Д о к а з а т е л ь с т в о |
т е о р е м ы |
7. |
Так |
как |
ряд |
||||||||||
в (12) сходится в S2"/00 |
и |
F е= ЗП1 |
п. н., |
то |
имеем ' |
|
|||||||||
|
{Tv |
Fч) = |
|
J |
J |
Fq |
{t) (2дш)' ё Ш и р w du |
dt. |
|
||||||
|
|
|
|
|
f |
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|