Файл: Кахан, Ж. -П. Случайные функциональные ряды.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 21.10.2024

Просмотров: 93

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

34

 

 

 

 

ГЛАВА II

 

 

 

для

некоторых

г > О

и

а >

О, то

 

 

 

 

 

Р {М > 2г) <

2а2 .

 

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Если

выполнены

предполо­

жения

первой

части

теоремы,

то

применима

лемма 1

при

Хп

= гпип,

Yn—Vn,

Y = V,

и

из условия (18) мы

получаем условие (20). Определим следующие события:

 

 

Л =

{ М > г } ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5 =

|

ряд

S

е„ы„

сходится

и

|| V || >

г | ,

 

 

 

С =

|

ряд

2

е„к„

сходится

и

|| V || >

2r

| .

 

Неравенства

(18)

и

(20)

могут

быть

записаны в виде

Р (В)

<

а/2

и

Р (Л) <

а

соответственно. Кроме

того,

по­

ложим

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4 » =

{|| Vi I K г

 

|| Vm-X

|| <

г,

|| У т

|| >

г),

 

 

 

 

{

 

оо

 

 

 

 

 

 

II оо

II

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ряд

Ц

е

а сходится

и

2 е „ « „

>

г}

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

II m

II

( m = l ,

2,

. . . ) . События

Л т

образуют

разложение

со­

бытия

Л. Так как Ат

зависит только от е,, е2 ,

е т ,

а Ст

зависит

только

от

em,

em + |,

е„„

е т + 2 ,

 

то

со­

бытия

Ат

и С т независимы при каждом т и мы имеем

 

 

 

 

Р(Ат[\Ст)

 

=

 

Р(Ат)Р(Ст).

 

 

Ат

Кроме

того,

одновременное

наступление

событий

и С обеспечивает наступление события Ст.

Следова­

тельно,

 

 

Р ( Л т П С ) < Р ( Л т П С т ) .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Записывая

это неравенство

для

 

т=1,

2, . . .

и скла­

дывая,

получаем

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Р(С) =

Р ( Л П С ) < Р ( Л ) 5 и р Р ( С т ) .

.

(21)

Теперь

если

заданы

 

е * = ±

1, . . . ,

&"т_х =

±

1, то

на­

ступление события Ст

влечет за собой то, что по крайней

 

СЛУЧАЙНЫЕ РЯДЫ В БАНАХОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ

35

мере

один

из

векторов

 

 

 

 

 

•••

+ e ; - I M m - 1

± ( e A + 8 m + l " m + . +

••• )

 

находится

вне шара ||л:|К> . Обозначим через

Л ( е ] , . . .

•

е^_,)

событие

е, = е*

8 m _ i = e m_p

т о г Д а

 

 

 

•••> е

; - . ) П С ) < 2 Р ( Л ( е ; ( . . . .

г^ПВ).

 

Складывая, получаем

 

 

 

 

 

 

 

P(C m )<2P(S) .

(22)

Из неравенств

(21) и (22) следует, что

 

 

 

 

 

Р ( С ) < 2 Р ( Л ) Р ( 5 ) < а 2 ,

 

 

и, следовательно, неравенство (19) доказано. Утверждение второй части теоремы может быть до­

казано подобным же образом. Пусть выполнено усло­ вие (20), т. е. Р (А) < а. Вместо событий С и Ст рас­ смотрим события

 

 

 

 

D =

{M>2r},

 

 

 

 

А* =

{sup || Vm+P -

Vm.x

|| > r}.

 

 

Имеем

 

 

 

p>o

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

P(D)<P04)supP(D m )

 

 

 

вместо

(21) и

 

 

 

 

 

m

 

 

 

 

 

 

Р ( Я т ) < 2 Р ( Л )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

вместо

(22).

Поэтому

Р (/>)< 2 (Р (А))2

< 2а2 ,

и

тео­

рема 3

доказана.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

В качестве следствия получаем

следующую теорему:

 

 

 

 

 

 

оо

 

 

 

 

 

Т е о р е м а

4.

Если

ряд

2 е п и п

я. к.

сходится

(или

ограничен), то || F

||

(или

М) принадлежит

всем

простран­

ствам

L"(Q)

(1 < р

< оо).

 

СО

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Действительно,

 

пусть

ряд

2в„и„ п. н.

сходится

и ф(/) —непрерывная при t^O

возрастающая

функция.

2*

36 ГЛАВА II

Тогда

со

J" ф (|| К (<D) ||) Р (rfGO)

(О,

а

о

 

, 2 3 )

p(t) =

p(\\V\\>t).

 

Выберем г > 0 так, что (18) имеет

место

при а < 1/2;

тогда

 

 

 

р ( г ) < ^ 2 < х , р ( 2 г ) < 1 ( 2 а ) 2

р(2nr)<

1 (2а)2 ".

Поэтому

 

 

 

2 " + 1 г

 

 

 

-{ <v(t)dp(t)<±-(2af\{2n+lr).

Интегралы (23) сходятся, если

 

 

 

 

2 (2a) 2 %(2 n + , r)<oo

(24)

 

n=i

 

 

 

и, в частности,

если ф(/) = ^р ,

где

1 ^ р < с о

любое.

То же самое

справедливо,

если

предположить, что

со

 

 

 

 

ряд 2 е„и„ п. н. ограничен и рассмотреть М вместо || V ||.

На самом деле мы доказали несколько больше, чем утверждает теорема 4, а именно, что функция ф(||У||) (или ф (М)) принадлежит пространству L1 (Q), если усло­ вие (24) выполняется для сколь угодно больших зна­ чений г. Например, функция ехр(ЯЦКЦ) (или ехр(ЯМ)) принадлежит пространству L 1 (Q), если Я > 0 достаточно мало.

6. Принцип сжатия

Вообще говоря, трудно сформулировать явное усло­ вие на «„, эквивалентное сходимости почти наверное

оо

или ограниченности почти наверное ряда 2 8 А - На-

i

пример, неизвестно никакого явного условия относи­ тельно действительных чисел ап, эквивалентного сходи-

СЛУЧАЙНЫЕ РЯДЫ В БАНАХОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ

37

мости п. н. или ограниченности п. н. ряда 2 ± ап cos nt

i

в пространстве L°°(0, 2я). Теперь мы докажем, что

со

путем сжатия ип можно уточнить поведение ряда 2

± ип-

Точнее, имеет место

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0 0

 

 

 

 

 

Т е о р е м а

5. Если

случайный

 

ряд 2ел"п п. н. схо-

дится

 

(или

ограничен),

а Хп — ограниченная

 

скалярная

последовательность

(Я„ — действительные

или

комплекс­

ные

числа

в

зависимости

 

от того, действительно

или

комплексно

 

банахово

пространство,

с

 

которым

мы

имеем

дело),

то случайный

 

ряд 2 8

Д А п-

«•

сходится

(или

 

ограничен).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Случай

комплексных Я„ выво­

дится

 

из случая действительных

Хп, а случай действи­

тельных А„ сводится к случаю,

когда

0 ^

Хп

1 (если

рассмотреть

последовательность

а|А,„|

 

вместо Я„, где

а > 0 достаточно

мало). Если

Хп

принимают

лишь

зна­

чения 0 или 1, то

результат

очевиден,

так как

 

 

 

 

2

еД„и„ =

Т (S е

А

+ 2

е " Vх"

-

Х)

и»)

( 2

5 )

и так как ряды в правой

 

части

подобны. Кроме

того,

если

 

положить

 

 

II

"'

 

 

II

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

М' (со) =

sup

 

2 е п (со) К ип

,

 

 

 

то

из (25)

следует

m

||

I

 

 

II

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8(М')^8(М),

 

 

 

 

 

(26)

а

мы знаем,

что

правая

часть

конечна

(согласно

тео­

реме

4). В общем случае,

когда

0 ^ Я , „ ^ 1 ,

положим

 

 

 

 

 

 

оо

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

К=

2 2 _ % ь

Я„& =

0 или 1.

 

 

Тогда

формально

имеем

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

оо

 

 

 

 

 

 

 

 

2 &nKun = 2 2~ 2

znKkun-

38 ГЛАВА II

Полагая

т

MHa>) = sup 2 е„ (со) Xnkun

т1

изаписывая неравенство (26) для каждого М'к вместо М',

получаем

Ш [ 2 2~KM'K) = 2 2~*# (А**) < «" (Af) < оо.

(27)

Следовательно,

со

2 2~kMk < оо п. н. fc=i

со

Отсюда следует, что ряд 2 е,Дп ип п. н. ограничен.

оо

 

 

 

 

Предполагая, что ряд 2 е

« "я п. н. сходится, положим

!

1

 

 

 

 

т

 

 

 

2

(со) ы„

,

 

I

т

 

II

 

I

 

 

 

2

е„(со)Я„ы„ .

 

| n = v

 

I)

В качестве следствия из (26) имеем

 

#(M' ( v ) )<<r(;W ( v ) ) .

(28)

Кроме того, M ( v ) (со) ^ 2М (со) для каждого со и lim M ( v ) = О

п. н.; согласно теореме

Лебега,

V->oo

правая часть неравен­

ства (28) стремится к нулю при v->-oo. Поэтому

lim

8{MM)

=

Q,

V-»oo

 

 

 

и следовательно, существует такая последовательность Л натуральных чисел, что

lim M ' ( v ) = 0 п. н.

V-»oo, veA

Смотрите также файлы