Файл: Кахан, Ж. -П. Случайные функциональные ряды.pdf

Так как последнее выражение отлично от нуля, то (17) доказано.

Теорема 7 является вероятностным доказательством теоремы Малявэна о спектральном синтезе. Эта теорема

определения 8 в виде б'(/) принадлежит Малявэну.

места. Дальнейшую информацию по смежным вопросам см. в статье Малявэна [1] и в замечании на стр. 287.

8.Упражнения

1.Сформулируйте условие на Sj, из которого сле­ дует, что множество значений функции F п. н. имеет положительную меру Лебега в Rp .

(Используйте теорему 2 и (6).)

2.Предположим, что (13) выполняется для всех г.

(Используйте представление, аналогичное (12).)

3. Пусть снова (13) имеет место для всех г. Далее, пусть р. — образ меры Лебега при отображении F

(см. стр. 230—231). Докажите, что р (и) с= L1 (Rp ) п. н.

( J l A ( » ) l 2 ( 1 + % Р ) Р < ° ° п. н.).

4. Пусть снова выполняется (13) для всех г. Дока­ жите, что образ F п. н. заполняет открытое множество.

(Следствие из упр. 3.)

5. Пусть (ор(/г) — модуль непрерывности функции р(^).

Е

Докажите, что сходимость интеграла | У®р(п)dh/h п. н.

о

обеспечивает равномерную сходимость ряда (1).

Г л а в а XIV

БРОУНОВСКОЕ ДВИЖЕНИЕ

плоскости считать комплексными случайными величи­

иллюстрацией броуновского движения на плоскости. Аналогичным образом можно ввести р-мерное бро­ уновское движение: оно определяется семейством гауссовских случайных величин в Rp , зависящих от действи­ тельного числа t. Можно определить также броуновское движение с р-мерным временем. В связи с броуновским движением естественно определить броуновские функ­ ционалы и изучать их преобразования Фурье. Это очень обширная тема. Наша цель состоит лишь в том, чтобы

показать ее связь с предыдущими главами.

Чтобы ввести и описать броуновское движение, мы вместо комбинаторного метода будем использовать бро­ уновские функционалы и преобразование Фурье.

2. Стохастические функции и стохастические функционалы

Напомним, что случайная функция была определена как случайный объект, т. е. отображение вероятност­ ного пространства Q в заданное множество функций. Грубо говоря, мы рассматриваем случайную функцию как обычную фушщию, зависящую от случая. С этой же точки зрения мы рассматриваем всякий случайный класс функций (например, «функцию» из L 2 , предста-

объектом (на самом деле, случайной функцией). Будем говорить, что две стохастические функции подобны, если подобны соответствующие случайные функции

246 ГЛАВА XIV

(действительной) стохастической функции. Будем гово­

В случае когда Л является действительной прямой, стохастическое семейство называется обычно случайным (стохастическим) процессом. Иногда случайный процесс рассматривается также как стохастическое семейство, определенное с точностью до подобия.

3. Броуновское движение на прямой

Рассмотрим гауссовский случайный процесс W на прямой. Вместо Wt удобно писать W (/). Говорят, что W имеет независимые приращения, если для произвольных действительных а, р, у и б, таких, что а ^ р ^ у ^ б , случайные величины W($) — W(a) и W(6) — W(y) неза­ висимы. Однако существование гауссовского случайного процесса с независимыми приращениями не является очевидным.

Процесс W, определенный с точностью до подобия, называется (действительным, комплексным, р-мерным) винеровским процессом или процессом броуновского движения.

Д о к а з а т е л ь с т в о т е о р е м ы 1. Мы проведем доказательство для действительного процесса. Предпо­