Файл: Кахан, Ж. -П. Случайные функциональные ряды.pdf

248

ГЛАВА XIV

а

Т — изометрическое

отображение

действительного

пространства

L2 (R) в Ж

Положим

W(t)=Txl0,t),

если t> 0 , 1

№ ( 0 = 7 ^ , 0 ) ,

если

t<0,}

( 4 )

и

Й7 (0) =

0.

Если

заданы

а <

|3 <

Y <

б,

то

функции

X|Q

Р )

и x( Y

в)

ортогональны в L2 (R);

поэтому

разности

W{6) — W(y)

и 17 (Р) —ll^(a)

ортогональны

в ^ , а

сле­

довательно,

независимы.

Кроме

того,

т (W(t))

=

У\ t \.

Тем

самым,

равенство

(4) определяет

нормированный

действительный гауссовский процесс W с независимыми

приращениями

и всякий

такой

процесс

может

быть

определен

таким

способом.

Если в L2 (R) задан ортогональный базис !г0,

hu

h2

то образы Th0, Т/ги

Т/г2,

. . . образуют ортогональную

систему в

Ж

т. е. действительную нормальную после­

довательность.

Эта действительная

нормальная

последовательность

определяет процесс W. Так как две действительные

нормальные

последовательности

подобны,

то

два

про­

цесса

W

также

подобны

и

теорема 1 доказана.

На­

процесса Wc

и винеровского

процесса

W в Rp не

сов­

падают.

А

именно, g(\Wc(t)\2)

=

\i\,

& &{\W{t)?)

=

= p\t\

для

каждого

действительного t.

Поэтому

Wc(t) =

yf(Wl(t)

+

iW2(t)),

БРОУНОВСКОЕ ДВИЖЕНИЕ

249

Т е о р е м а

2.

Для

любого

действительного

а Ф

0 и

любого

действительного

t0 каждая

из

случайных

функ­

ций V\a~\W

(t/a),

W (t -\-tQ)—W

{t0),

11 \\V (l/t)

подобна

случайной

функции

W (t).

заменить W на

Wc

To же

самое справедливо,

если

или W. Кроме того, случайная

функция eiaWc(t)

по­

добна случайной функции Wc(t)

при

любом

действи­

тельном

a,

a

UW

(t)

подобна

W (t)

при

любом

ортого­

нальном унитарном преобразовании U пространства

Rp.

Таким

образом,

теорема 2

приводит

нас к

необхо­

димости

изучения

модельных

функций

броуновского

странства L2 (0,

1): 1, ]/2

cos2n/, |/2 sin2ni, . . .

|/2 COS2 JI/2/,

Y2s'm2nnt,

отображается пре­

довательность

Х0,

Хи

У|,

Хп, Yn,

Случайная

функция

W (t)

получается

согласно

равенству

(4), т. е.

формальным

интегрированием

ряда

оо

*о +

1/2 2i (Хя cos

2nnt + Ynsin

2nnt);

(5)

следовательно,

со

W (t) = X0t +

"2^7 Wn sin 2nnt+Yn(1

2nnt)).

1/2 2

-cos

(6)

i

В

р-мерном

случае

получаем

со

W

(t) = ^

+

/

2

^

(Ха

sin 2nnt+Ya

(1 - cos

2nnt)),

(7)

i

где

XQ,

Xu

Yu ...—последовательность независимых

гауссовских

переменных в

Rp,

такая,

что &(\ Х0\2)

=

=

$

(| X, |2 ) =

Ш (|

У, |2 ) =

. . . = р.

В

комплексном

случае

мы

берем {е~л!п'}п=

_, 0

,

в

качестве

базиса

в

L2 (0, 1)

и

получаем

Wc(t)

формальным

250

ГЛАВА XIV

И М 0 = ^ + 2 й г ^ ' п ' >

(8)

Т е о р е м а

3.

Выборочные

функции

действительного

броуновского

движения

(броуновского

движения

в

Rp,

комплексного

броуновского

движения)

задаются на

[О, 1]

случайным рядом

(6) [соответственно (7),

(8)). Почти

на­

верное имеют

место следующие

свойства:

р—

\W(t

+ h ) - W ( t ) \ ^

л

л

любого

t;

3)

l i m - 1 — 5 —

. ' — - и - > 0

для

4)

если

задано

компактное

множество

Е

на [0, I], то

dim W{E)

=

ini {р,

2 d i m £ ) ;

5)

если

С а р 1 /

2 £ ' > 0 ,

то W (Е)

имеет

положительную

меру

Лебега;

6)

если

к (t) — потенциальное

ядро

положительного

типа

на окруэюности, такое, что

f

« Ш *

<

0

0

,

то

С а р х Г - ' ( 0 ) > 0 .

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Первая

часть

теоремы

уже

доказана.

В

обозначениях

гл.

X I I I

W(t)

и W (t)

есть