Файл: Кахан, Ж. -П. Случайные функциональные ряды.pdf

262

ГЛАВА XIV

б. Броуновские

функционалы

Пусть

задано полное пространство с мерой (Е,

ц),

и пусть

ЧГ— всюду плотное

подмножество в L2(E,

д.)

элементы 6Г

как определяющие

функции.

Определим

^-однородный

стохастический

функционал

как

изометри­

ческое отображение множества ёГ в L2 (Q) (действитель­

ное или комплексное). Определим

[i-броуновский

функ­

ционал как

изометрическое отображение

множества £Г

в гильбертово пространство

Ж

гауссовских

величин

хастического функционала

относительно обычной меры

на окружности является отображение

0 0

Ф->(7\ ф) =

2 в , / п / ф ( е / ) ,

ваемся комплексным случаем.

Изометрическое

отображение из £Г в L2 (Q) можно

продолжить до изометрического отображения из L2(E, ц.)

в L2 (Q). Два однородных функционала, продолжения

которых на L2(E,

и.) совпадают, удобно идентифици­

ровать (хотя они,

вообще говоря, не подобны). Однако

выбирать £Г в виде строгого подпространства

L2(E, р.).

Условимся,

что в

дальнейшем

Е

обозначает

открытое

множество в Rp.

Следуя Л. Шварцу, обозначим

через

£D(E) пространство всех бесконечно дифференцируемых

функций (С°°-функций) с компактным носителем

в

Е;

сопряженное к нему пространство З)'(Е)

— это

про­

странство

всех

распределений,

сосредоточенных

на

Е.

Т е о р е м а

5.

Пусть

задана

положительная

мера

ц

на

Е

(ограниченная

или

нет), и

пусть на 3)(Е)

опреде­

лен

^-однородный

стохастический

функционал.

Тогда

выборочные

функционалы

п. н.

являются

распределе­

ниями

на Е.

БРОУНОВСКОЕ ДВИЖЕНИЕ

253

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Фиксируем

гр е= 3)(Е).

Если а

достаточно

мало, то

носитель

гр

находится

в

кубе

| я, l ^ i t / a ,

| л г р | ^ л / а .

Обозначим через

Т наш сто­

хастический

функционал.

Для каждого элемента п =

=

пр)

целочисленной

решетки в

Rp

положим

en(x)

= elan-x

= e i a ^ +

"

и Т(г|;е„) =

Tip (/г). Имеем

аГ(|

7\p(n)\2)

=

H \ \ l w ,

а

П 0 Т 0

М У

•

Р ( |

ТЪ(п)\>\п\р)^\пГ2рН\Ьы

(|/гр =

/ г 2 + . . .

+пр).

Следовательно, Гор (п) =

О (| п \р)

п. н.

Другими

сло­

со

оо

Г ( ф ) = 2

Г(я|>/Ф)= 2

5^,,(Ф)=5(Ф) для любого <ре=2>(£),

t=i

t=i

1

и поэтому

5

является

распределением.

Доказательство

теоремы

5 завершено.

Наиболее интересен случай р,-броуновского функ­

ционала.

Случайное распределение

S e 2 ) ' ( £ )

назовем

ц-броуневским

распределением,

если

оно п. н. является

модельным

функционалом

ц-броуновского

функцио­

нала Т,

т. е.

п.

н.

5 ( ф ) = Г ( ф ) для любого

ф е 2 ) ( £ ) .

254

ГЛАВА XIV

Т е о р е м а

6. Если

мера

ц. задана,

то любые

два

[i-броуновских

распределения

подобны.

Пусть \л =

fx, -f-jj.2>

где д.,

и р,2 — положительные

меры, и

пусть S{

и

S2

—

независимые

случайные

распределения,

такие,

что

St

является

\хгброуновским,

a S2 является

\12-броуновским;

тогда S{ + S2

является

\х-броуновским

распределением.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Первая часть

теоремы

дока­

ремы 1. Выберем ортогональный базис

h0, hlt ...

про­

странства L2(E,

ц),

такой, что все h

принадлежат

D(E).

Тогда если

5

является

ц-броуновским

распределением,

то S(h0),

S{hi),

две

нормальная

последовательность.

Поскольку

любые

нормальные

последовательности

также подобны. Вторая часть теоремы очевидна.

Дей­

ствительно, полагая 5(ф) =

5, (m) + S2((p)

для

каждого

у^З)(Е),

получаем, что отображение ф-> S(q>) является

^.-броуновским функционалом, определенным на

D(E).

Если

р, — обычная мера

Лебега в Rp ,

то

будем

опускать

индекс р. и говорить об обычном

броуновском

распределении. В случае р = 1 обычное

броуновское

функции

Винера.

6. Регулярный случай

Пусть E = RP и р. — регулярная мера в Rp.

Это озна­

чает, что

пространство Л. Шварца ^'(R'')

содержится

Т е о р е м а

7. Пусть

и- — положительная

регулярная

мера на Rp .

Рассмотрим

^-однородный

стохастический

256

ГЛАВА XIV

Интегрируя по частям и используя оценку \i(x)

—

0 ( | х |v)

(| х |-> оо),

имеем

J ехр (— 2лл-2 - j

^ p f )

Ф

W

=

со

=

|

4ял-

| ~ *

[I(х)ехр (— 2лх-

| ~ ^

j d.v

=

— оо

со

=

О ((1 -

/) J

U

Г + |

ехр ( - ^ -

\ ~

) dx)

=

— со

= о ( ц - г Г / 2 )

(/->1).

Полагая

/ =

1 — 1/п,

получаем

4-(и,

л»<2/ Я ^ лЭ =

о ( / 1 , ¥ + П

П р е д л о ж е н и е

4 (Шварц [1], стр. 105). Преобра­

зование Фурье ф-»-ср

взаимно

однозначно

отображает

пространство 9" (Rp)

в

^ ( К р ) .

Обобщенное

преобразова­

ние Фурье

S —> S,

определенное

равенством

[S,

ф)==(5, ф)

для каждого ф<=^~(Рр ),

(10)