ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 21.10.2024
Просмотров: 99
Скачиваний: 0
|
|
|
|
БРОУНОВСКОЕ ДВИЖЕНИЕ |
|
|
|
257 |
||||||
пределения, |
если мера и. регулярна. В частности, |
если |
||||||||||||
\х есть |
мера |
Лебега |
на Rp, |
то |
справедлива |
|
|
|
||||||
Т е о р е м а |
8. Преобразование |
|
Фурье обычного |
броу |
||||||||||
новского |
|
распределения |
на |
Rp |
является |
обычным |
броу |
|||||||
новским |
распределением |
на |
|
Rp. |
|
|
|
|
|
|
||||
Д о к а з а т е л ь с т в о |
основано |
на |
равенстве (10) и |
|||||||||||
свойстве |
изометрии |
преобразования |
Фурье |
в |
L2(RP). |
|||||||||
|
7. |
Стационарные |
гауссовские |
процессы |
|
|||||||||
Рассмотрим |
случай р—\. |
|
Комплексная |
|
случайная |
|||||||||
функция |
F(t) |
называется |
сильно |
стационарной, |
если |
|||||||||
случайная функция FQ(t)~F(t |
|
|
— 0) подобна |
F(t) |
при |
|||||||||
любом |
0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Случайная функция F(t) называется слабо стацио |
||||||||||||||
нарной, если она второго порядка (т. е. 8(| |
F(t) |2 ) < оо |
|||||||||||||
при всех |
/) и если |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
8{F{t)F{s)) |
|
= r{t-s) |
|
|
|
(11) |
||||
для некоторой |
функции |
r(t). |
Функция |
r(t) |
называется |
|||||||||
корреляционной |
функцией |
F. |
Если F(t) |
второго порядка |
||||||||||
исильно стационарна, то она также слабо стационарна.
Впервом (втором) случае F(t) определяет сильно (слабо) стационарный процесс.
Вкачестве примера рассмотрим гауссовский случай ный ряд
ScnZne**™, |
(12) |
' —со
где Z„ — независимые нормированные комплексные гаус совские величины (&(\Zn | 2 = 1). Предположим, что ряд (12) п. н. сходится к непрерывной функции F{t). Очевидно, F является гауссовской и сильно стационар ной. Кроме того,
r ( 0 = S l c n | 2 ^ " " . |
(13) |
— со
Докажем обратное утверждение.
9 Ж.-П. Кахан
258 |
|
|
ГЛАВА XIV |
|
|
|
Т е о р е м а 9. |
Любой |
гауссовский |
слабо |
стационар |
||
ный непрерывный |
процесс |
F (t) с п. |
н. |
непрерывной |
||
периода 1 |
функцией |
F(t.) определяется |
рядом вида (12). |
|||
Отсюда |
следует, |
что |
периодический |
гауссовский |
||
слабо непрерывный процесс является сильно непре рывным. Отметим, что ряд (12) есть не что иное, как преобразование Фурье р-броуновского распределения,
где |
мера |
р. сосредоточена |
на множестве |
целых точек, |
а |
р(п) = |
|с„[2 . Мера р. |
называется |
спектральной |
мерой процесса. Преобразование Фурье спектральной меры является корреляционной функцией и задается рядом (13).
Д о к а з а т е л ь с т в о |
т е о р е м ы |
9. Рассмотрим |
|||
комплексный |
тригонометрический полином |
||||
|
Р(О |
= 2 |
Pn.e-nini |
( с у м м а к о н е ч н а ) . |
|
Интеграл |
F(t)p(t)dt |
может быть |
аппроксимирован |
||
о
суммами Римана, а суммы Римана являются гауссовскими. Поэтому этот интеграл также гауссовский. Сле довательно, последовательность коэффициентов Фурье
о
принадлежит гильбертову пространству Ж комплексных гауссовских величин. Кроме того,
= J _[ r{t — |
s)p{t)p(s)dtds. |
о о
БРОУНОВСКОЕ ДВИЖЕНИЕ |
259 |
||
Снова полагая p(t) = e2nlnl, |
имеем |
|
|
< Г ( | ? „ Р ) = / |
r(t)e-^dt |
= |
?n, |
о |
|
|
|
а в общем случае
Определим р, как меру, сосредоточенную на 2 (мно жестве целых чисел), такую, что ц (п) = ?п. Если рас сматривать р как функцию на Z, то отображение (14) является квадратом нормы р в L2(Z, р,); поэтому ото бражение
I
Р-> J F{t)pU)dt
о
является броуновским функционалом на множестве, всюду плотном в L2(Z, р). Его можно продолжить до броуновского функционала, определенного на L2(Z, р.).
Полагая снова р (t) — е2пШ, |
мы видим, что Fn |
являются |
|||||||||
независимыми |
|
гауссовскими |
величинами, |
такими, что |
|||||||
8((Fn)2) |
= ц(п). |
Иными |
словами, |
F(t) |
задается ря |
||||||
дом (12), где сп = У у- (/г). |
|
|
является |
следующий ре |
|||||||
Несколько |
более |
трудным |
|
||||||||
зультат: всякий |
слабо |
непрерывный |
процесс |
F(t) с почти |
|||||||
непрерывной |
функцией F(t) |
является |
преобразованием |
||||||||
Фурье некоторого ^-броуновского |
распределения. |
Мера р, |
|||||||||
снова |
называется спектральной |
мерой, а ее преобразо |
|||||||||
вание |
Фурье — корреляционной |
|
функцией |
процесса. |
|||||||
Все сказанное наводит на мысль рассмотреть все |
|||||||||||
преобразования |
Фурье (в смысле |
Шварца) |
регулярных |
||||||||
р-броуновских распределений. Случайные распределе ния, которые получаются при этом, можно назвать гауссовскими стационарными распределениями (см. упр. 2 и 3).
9"
260 ГЛАВА XIV
8. Броуновское движение с р-мерным временем
Вернемся к теореме 5 на стр. 252 и рассмотрим
случай, |
когда |
E = RP |
— {0} |
(пространство |
без |
нуля). |
||||||||
Пусть р. — положительная |
мера |
на |
Е |
со |
следующим |
|||||||||
свойством: для |
любого |
ic=R p функция |
|
|
|
|
||||||||
|
|
sinnt |
• x = s\nn{tiXl |
+ ... |
+ |
tpXp) |
|
|
|
|||||
как функция точки х = |
(х1,..., |
хр) |
принадлежит L2(E, |
р.). |
||||||||||
Положим |
|
F(t) = |
(T(x), |
1 - е 2 " " - ) , |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
где Т (комплексное)—р-броуновское |
распределение |
на |
Е, |
|||||||||||
a / e R p . |
Тогда |
F — комплексная |
гауссовская |
функ |
||||||||||
ция, |
определенная |
на |
Rp . |
Если |
|
/ е |
Rp и |
s с= Rp , |
то |
|||||
F(t)—F{s) |
— комплексная |
гауссовская |
величина, причем |
|||||||||||
|
ff(\F(t)-F(s) |
|
|2) = |
J sin2 (я(/ - |
s) |
• х) dp (x). |
(15) |
|||||||
|
|
|
|
|
Rp |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Для |
p = |
1 и d[i{x) |
= dx/(2n2x2) |
получим |
|
|
|
|
||||||
|
|
&(\F(t)-F(s)\2) |
|
= |
\ t - s \ . |
|
|
(16) |
||||||
Вэтом случае F{t) есть не что иное, как комплек сная функция Винера.
Вслучае произвольного р Поль Леви рассмотрел гауссовскую функцию F, заданную на Rp и такую, что
равенство (16) справедливо при любых t^Rp и s e R ' . Он назвал соответствующий процесс броуновским дви жением с р-мерным временем. Чтобы получить эту
функцию, |
положим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
dx\ . . . |
dxp |
|
|
|
dr |
da |
|
dp, (x)=Ap |
j ж |р+1 = Ар r x 2 + |
_ |
+ |
x 2 p |
J p + m |
= |
PBP |
r2 |
• |
|
где r = \x\, |
da — нормированная |
мера |
на |
поверхности |
||||||
единичной |
сферы в Rp , |
а |
Ар |
и |
Вр |
— постоянные. По |
||||
стоянную Ар можно выбрать |
таким |
образом, |
чтобы |
|
||||||
|
J" sin2 (nt |
• х) dp (x) = |
\t\. |
|
|
|
|
|||