Файл: Кахан, Ж. -П. Случайные функциональные ряды.pdf

В этом случае равенство (15) сведется к равенству (16). Это доказывает существование броуновского движения с р-мерным временем для любого р.

9.Упражнения

1.Определите естественным образом броуновское распределение на множестве целых чисел и броуновское распределение на окружности. Дайте другую интерпре­ тацию равенства (8).

2. Свертку Г*ср, где Г е / ( К ) , а ф е ^ ( К ) , можно определить с помощью преобразования Фурье (формула

I s |>2a. Докажите, что корреляционная функция для Г*ф имеет компактный носитель. Докажите, что спектраль­ ная мера д. является суммой некоторой мероморфной функции, рассматриваемой на R, и некоторой меры, сосредоточенной на дискретном множестве.

(Рассмотрите преобразование Фурье для | ф |2 .)

5. Докажите, что всякое д-броуновское распреде­ ление в R2 p можно задать в виде Д р + 1 / \ где А — обыч­ ный оператор Лапласа, a F — случайная непрерывная функция.

Г л а в а XV

СЛУЧАЙНЫЕ ОБРАЗЫ СОВЕРШЕННЫХ МНОЖЕСТВ

1. Введение

Размерность Хаусдорфа компактного множества Е, определенная на стр. 227—228, является очень хорошей характеристикой степени разреженности множества Е. Кроме того, если ее определить как емкостную размер­ ность, она дает информацию об усредненном асимптоти­ ческом поведении преобразования Фурье мер, сосредо­ точенных на Е, т. е. если Е с Rp и а < dim Е, то су­ ществует положительная мера ц. Ф 0, сосредоточенная на £ и такая, что

буется более точная информация об асимптотическом поведении ц,. Например, в связи с проблемой един­ ственности и неединственности для тригонометрических

определяют как компактное множество, на котором сосредоточена мера ц Ф 0, такая, что | i стремится к нулю на бесконечности. Классическое множество Кан­ тора, связанное с троичной системой, не является А10 -множеством, хотя оно имеет положительную хаусдорфову размерность.

Определим М^-множество как компактное множество

левой меры Лебега, то размерностью Фурье множества Е назовем точную верхнюю грань таких а, что Е является

.Ма / 2-множеством. Размерность Фурье мажорируется хаусдорфовой размерностью, а пример канторова мно­

мерность Фурье и размерность Хаусдорфа компактного множества Е равны, то мы называем Е множеством Салема.

У читателя может сложиться впечатление, что мно­ жества Салема являются в некотором смысле исклю­ чениями. Однако на самом деле это не так, поскольку мы докажем, что образ всякого линейного компактного множества размерности < р/2 при р-мерном броунов­ ском движении п. н. является множеством Салема. Вообще образ всякого линейного компактного множества при вполне регулярном р-мерном гауссовском стацио­ нарном процессе п. н. является либо множеством Са­ лема, либо множеством положительной меры Лебега. Основная часть настоящей главы посвящена этим ре­ зультатам.

В отличие от размерности Хаусдорфа размерность Фурье тесно связана с арифметическими свойствами множества. Например, любое множество положительной размерности Фурье образует в пространстве Rp группу.

Представляет интерес теорема Рудина о том, что существуют .Мр-множества, которые являются незави-

Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть у — функция класса С°°, сосредоточенная на компактном множестве, расположен­ ном внутри единичного куба пространства Rp, и равная 1 на носителе меры ц. Положим

для любых а и х из единичного куба. Так как произ­ водная функции уа (сколь угодно высокого порядка) равномерно ограничена относительно а, то для всякого q > О имеем