Файл: Кахан, Ж. -П. Случайные функциональные ряды.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 21.10.2024

Просмотров: 96

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

266

ГЛАВА XV

авторая не превосходит

К2 I Ya (") I-

I п | > | т |/2

Используя оценки величин |уа (и )1> имеем

IA(« + e ) l < c 1 i i i f ^ . + c J | « r ,

где г произвольно, а С, и С2 не зависят от т. Исполь­ зуя предположения относительно ср и ар, имеем

 

 

 

 

 

ф(0 ъ

Ф(0) г

г

 

 

 

 

 

 

 

 

V (О

Ф (0)

 

 

 

 

при

некотором

г >

0.

 

Следовательно,

| р, (т + а)

|^

< С 3 - ^ т 5 -

и,

наконец,

р (и) =

О ( - ^ + 4 г )

•

 

Л е м м а

2.

Яг/сгб

Л (/) — положительная

вогнутая

функция

на полуоси

t > 0 и

 

 

 

 

 

 

 

 

 

со

 

 

 

 

 

 

 

 

A*Q/)= J" e-'h(ty-*)dt

(у>0).

 

 

 

 

 

 

о

 

 

 

 

 

 

Тогда

A' (у)=

О (А (г/- 1 ))

" Р " у-*-оо.

 

 

 

Д о к а з а т е л ь с т в о

 

очевидно, если

разбить инте­

грал на две части и использовать

неравенство A (ty~')

^

<[А(г/- 1 )

для / < 1

и

 

неравенство

h(ty~l)^.th{y-i)

для t> 1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3. Броуновский образ меры. Доказательство теоремы 1

Пусть А (/) — положительная при t ^ 0 вогнутая функ­ ция, а 8 — положительная мера на (0, оо) с полной мас­ сой 1, такая, что 8 ( / ) ^ А ( ] / | ) для всякого интервала/. Обозначим через р, образ 8 при отображении W, т. е.

оо

\j{x)v{dx)=\ f(W(t))dQ(t);

 

СЛУЧАЙНЫЕ ОБРАЗЫ СОВЕРШЕННЫХ

МНОЖЕСТВ

267

тогда

|г — случайная мера на Rp.

Ее

преобразование

Фурье

есть

 

 

 

 

оо

 

 

 

 

А ( и ) = J" e2*lu-w«l

dB(t).

 

 

о

 

 

 

Вычислим- <Г(| А (и) I2 ") для произвольного целого q. Имеем

1 £ ( " ) 1 2 ' =

. . . d e ( s , ) d e ( < ) . . . d e f t ) .

Так как функция, которую мы интегрируем, симметрична относительно s,, sfl и относительно s[, . . . , s^, то интеграл равен

(?!)2

J

J

 

 

...dB(s1)...dB(sq)dB(s'1)...dB(s'^

Располагая s,, s2, . . . , sg, s^, s2, . . . , s'q в возрастающую последовательность tb t2, t2q, получаем

I A ( " ) I 2 < 7

=

= ( ? 0 2 2 J

J

e

X

 

 

 

Х < В Д ) < Ю ( * Я ) . . .

dB(t2q),

где сумма

берется

по всем

таким

системам

{е/}, что

& , = ± 1 (; =

1, 2

q) и e,-f-e2-f-

. . . + е 2 ( 7

=

0. По­

скольку 0 <

tx < /2 <

... < t2q,

то W (*,), Щ*2 ) — IF (f,), ...

W {t2q)

— W(t2q_x)

суть

независимые

гауссовские

векторы; следовательно,

 

 

 

 

g (e s«<«-(e iM '('i) + - + « „ v ( ' » , ) ) )

=

 

 

 

= = ( g'(e 2 "'"-((e1 +-+Vw '('i))x

X e M » 1 f t + - + > 1 , ) ( 1 1 ' ( , ! ) - , l ' ( ' i ) ) + - M « ' ( ' I , ) - " ' ( ( r i ) ) ) =

268 ГЛАВА XV

Обозначая

п | ы | 2 ( е / +

••• +

е2 ,)2 через ар/, имеем ар/^О

при всех /

и а р / ^ л | ы | ? , если

j четно. Положим

 

< И А ( " ) 1 2 , ) =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

- ( ' l * l +

( ' . - ' l ) * l + - +

('*, - '2, - l)+*,)>

 

 

 

 

Xde(f,)d9(/2 )

. . . d8(/a ,) (1)

и проинтегрируем

сначала

по // с четным индексом

/.

Например,

придерживаясь

обозначений

из

леммы

2,

для одного

интеграла

имеем

 

 

 

 

t-

оо

 

 

 

 

 

 

j " е - ^ - М Ф ^ Э С ^ Х

 

j " e - " l « l , ' d 0 ( / + f , X

 

 

<i

о

 

 

оо

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

< я | и2 11

в-"1»1''А(0Л =

А*(я| ы |2 ).

 

 

 

о

 

 

 

 

 

В результате интегрирований

получим

 

 

 

{*])

 

o«,<f,<i ... <* l , _ I

 

 

 

 

 

 

. . .

й6(/2 ( ,_1 ) = - ^ - ( / г * ( я | и | 2 ) Г .

Снова применяя лемму 2, находим, что

 

 

 

 

^ ( l A ( « ) r ) < ( c ^ ( l « r 2 F .

 

(2)

где С — некоторая

постоянная. Это неравенство играет

в дальнейшем фундаментальную роль. Запишем

неравен­

ство (2)

для всех точек и = п из Zp

при q=qn=[log\

п |].

После сложения

получим

 

 

 

' (

S

' " Г - ( ^ _ Г ) < ~

 

;

поэтому

общий

член ряда п. н.

стремится

к

нулю,

а следовательно,

 

 

 

 

А(«) = О ( / l o g l / t l A d / i r 2 ) ) .

 

СЛУЧАЙНЫЕ

ОбРАЗЫ СОВЕРШЕННЫХ

МНОЖЕСТВ

269

Аналогично, п. н. имеем-

 

 

 

 

 

А (en) = О ( / l o g | e r t | A ( | e n

Г"2))

(3)

при

любом

е > 0.

Если имеет место (3) и если мера р

сосредоточена на компактном множестве диаметра <

1/е,

то

можно

применить лемму

1 к мере р е , такой,

что

ре («) = А (е«) . В

результате

получим

 

 

 

 

А («) =

О ( V l o g | « | A ( | « r 2 ) )

п. н.

(4)

Следовательно, (4) имеет место с вероятностью I . Теперь очень легко закончить доказательство тео­

ремы 1.

Воспользуемся

следующей

леммой,

принадле­

жащей

Фростману [1] (стр. 89) (см. также

Кахан

и

Салем [1], стр. 27).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Л е м м а

3. Если h (t)—положительная

вогнутая функ­

ция

при

t >

0,

а Е имеет положительную

h-меру

[конеч­

ную

или

бесконечную),

то на Е

сосредоточена

 

положи­

тельная

мера 0, такая

что 8 ( | / | ) ^ С А ( | / | )

для

всякого

интервала I , а постоянная

С зависит

лишь

от 0.

 

В качестве следствия можно получить такую лемму:

Л е м м а

4.

В

предположениях

леммы

3 на

множе­

стве

W (Е)

п. н.

сосредоточена

некоторая

мера

р ф

0,

преобразование

Фурье

которой удовлетворяет

условию

(4).

Если

хаусдорфова

размерность

Е

равна

а,

причем

а < р/2,

то, как мы уже знаем, хаусдорфова

размер­

ность W (Е)

п.

н.

равна

2а (см. стр. 250).

Согласно

лемме 4, на W (Е) п. н. сосредоточена некоторая мера ^=0,

преобразование

Фурье которой есть 0 ( | и \~а+г)

 

при лю­

бом е > 0; поэтому

размерность Фурье множества W (Е)

также п. н. равна 2а. Доказательство теоремы 1 закончено.

В заключение сделаем несколько замечаний относи­

тельно случая

а ^ р / 2 .

Если р = 2,

а а = 1, то

можно

доказать,

что W (Е) п. н. имеет

нулевую

меру

Лебега;

по лемме

4 размерность

Фурье

этого множества

п. н.

равна

2.

Если

р—\,

а а = 1/2,

то

W(E)

п. н. является

либо

множеством

положительной

меры

Лебега,

либо

270

 

 

 

 

ГЛАВА XV

 

 

 

 

 

 

множеством

Салема

с

размерностью

Фурье

1.

Если

р = 1 , а > 1 / 2 ,

то

W (Е)

п. н.

 

имеет

положительную

меру

Лебега.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4.

Арифметические

свойства

броуновских образов.

 

 

Доказательство теоремы

2

 

 

 

Из теоремы 1 следует, что на сумме W (Е) -+-... +

W (Е)

(т раз) сосредоточена некоторая мера

ц * . . .

* ц, пре­

образование

Фурье

которой

п.

н.

имеет

порядок

О (| u\~ma+s)

( a = d i m £ ' ,

е > 0).

Обозначим

это

множе­

ство

через

© № ( £ ) .

Если 2та

>

р, то

оно

п. и.

имеет

 

 

т

меру

Лебега; следовательно,

разность

положительную

© W (£) — © W (Е)

п. н. содержит 0. Если a >

0, то W {Е)

тт

не является независимым множеством над полем рацио­ нальных чисел.

Нам понадобится следующая лемма противополож­ ного характера. Обозначим через К компактное подмно­

жество

из

Rp ,

 

а

через ЕВ К — множество

всех

чисел

 

т

 

 

 

 

т

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

вида

2

гпхп,

где

/"„ — рациональные

числа, а

^ е / ( .

Л е м м а

5. Если

К покрыто v шарами

с диаметрами

dy

( v = l ,

 

2, . . . )

и

lim(vm dv ) =

0, то ЕЭ К

является

множе-

 

 

 

 

 

V-> оо

 

 

m

 

 

 

 

 

 

ством

лебеговой

 

меры

нуль.

 

 

 

 

 

 

 

 

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Если заданы г1 (

г2 ,

. . . ,

г,п,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m

 

 

 

 

 

 

то множество

всех

чисел

вида

2

W n . хп е

К,

может

быть покрыто vm

 

шарами диаметра bdv, где b =

m sup | гп

|;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

п

 

 

поэтому его мера Лебега равна

нулю.

Следовательно,

множество

ЕВ К

является

счетным

объединением

мно-

 

 

 

m

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

жеств

лебеговой

меры

нуль.

 

 

 

 

 

 

 

Предположим теперь, что Е удовлетворяет условиям

теоремы

2.

Из

условия а) и леммы 4 следует, что W (Е)

п. н.

является

 

М0 -множеством. Используя

лемму

5

и

Смотрите также файлы