Файл: Кахан, Ж. -П. Случайные функциональные ряды.pdf

СЛУЧАЙНЫЕ ОБРАЗЫ СОВЕРШЕННЫХ МНОЖЕСТВ

271

условие Ь),

докажем,

что

W (Е)

п. н. независимо

над

полем

рациональных

чисел.

Рассмотрим конечное число непересекающихся сег­

ментов

U =

[an, Ьп]

( « = 1 , 2 , . . . ,

т),

Q =

al<bl<a2<b2<

...

<bm.

Положим

W(t) = Wl(t)

+

W2(t)

( / > 0 ) ,

где

функции

W\

и

W2

п.

н. непрерывны,

W{

постоянна

на

каждом

сегменте

/„,

a

W2 — на

каждом

сегменте

[Ьп,

ап+\]- Если заданы т рациональных чисел ги

...,

гт,

то

событие

т

Э г „ < = / „ П £ ( " = 1 , 2 ,

.... т), такое, что

2 r n W ( t n )

= 0,

(5)

л=1

влечет

за

собой

включение

т

- 2 r „ f l M a „ ) e f f l T F 2 ( £ ) .

'

(6)

п=1

т

Из

условия Ь) и липшицевского характера

W следует,

что

K =

W2(E)

п.

н. удовлетворяет

предположениям

леммы 5, каково бы ни было т. Так как приращения W

на

непересекающихся

сегментах

стохастически

незави­

симы,

то

Wx

и

W2

также

стохастически независимы.

Левая

часть

включения

(6)

является

гауссовской

слу­

чисел

Я], Ь\,

а2,

Ьп

(удовлетворяющих условию

а, < b{ < а2 <

... < Ьт)

и г,, г2 ,

. . . , гт,

мы видим, что

событие

«W(E)

зависимо

над

полем

рациональных

чисел»

имеет нулевую

вероятность.

5.

Образ меры при отображении гауссовским

рядом Фурье

Как

и в гл. X I I I , рассмотрим

р-кратный

гауссовский

ряд Фурье

со

2о ап {Хп cos nt + Yn

sin nt),

(7)

Если ряд

(7)

представляет непрерывную

функцию,

то обозначим

ее

через

F(t).

Например, ряд

со

S i r + T

c o s ( 2

f t +

+ y t o + i s i n ( 2 n +

1)0 (8)

со

2 <hn+i (Xzn+г cos (2я + 1) t + У 2 п + 1 sin (2л +

1) /). (9)

л=0

Рассмотрим положительную меру dQ(t)

полной

снова через и. ее образ при отображении F. В § 4

гл. X I I I

мы исследовали /Лнорму р,(«) относительно

некоторой

весовой функции. Теперь же, как

и на стр. 268,

оценим

8{\\i{u)

ft).

Поскольку

g (в *я'»-С (<j)+ - + F

Cq)-F

F

(*,))) =

где

_

e - n | u | 2 2 a „ 6 ( « . n i ) i

б (л/,

/м) =

| в " , ' " +

. . . + ешя

-

eins> - . . .

-

Л |2 ,

где

r|v =

inf а 2 ,

а

С — абсолютная

постоянная. По­

скольку

a „ > V 1 / 2 - p ,

то 2 4 > 2 - 2

P V .

д л я

2^<и<2^+1)

Ц

оо

запишем

сумму

из

(11)

в виде

2

+

2

•

В

первой

v=I

v=n+I

из этих сумм применим

неравенство

h(2~v)^i2v'~vh(2~11),

а во

второй — неравенство h ( 2 - v

) ^

h (2 -

| i ) .

В

резуль­

тате

получим

\2")<(C'qh(uW))q.

#(1А(и)

Для

построения

исключительного

множества G

в лемме

6 воспользуемся схемой А. Картана, являю­

щейся классической в теории целых функций.

Для

заданной

точки

t =

(tu

tq)

из д-мерного

тора Тч

и

заданного

е >

0

определим

подмножество

окружности

F(t, г),

такое,

что

Для всякого

натурального j^q рассмотрим все

интер­

валы

длины

2/е,

которые

содержат

по крайней

мере /

точек

tk. Выберем

такой

интервал

соответствующий

максимальному

из

возможных значений /. После уда­

ления

всех точек tk,

принадлежащих 1Х, повторим эту же

может оказаться и пустым. После удаления

всех

то­

чек tk,

принадлежащих

либо

I l t либо

12,

получим

интервал

/ 3 и т. д.

Пусть

Jt обозначает

интервал,

по­

лученный

удвоением

интервала

I t , т. е. //

имеет ту

же