Файл: Голембо, З. Б. Алгоритмизация и программирование электротехнических задач на электронных цифровых вычислительных машинах учеб. пособие.pdf

Придавая

последовательно

величине х значения а, а — h„

а + h, а — 2h,

а + 2/г,

получим, что

Откуда

b.1

=

C0-hC1.

О) =

^0>

Положим и =

{х — a)/h.

Тогда исходный

полином

принимает'

вид:

у = b0 + uAb_i +

J L

ы

(и +

1) да b_i + J L

и

(Ыя _

j) дз £_2

+

+

~

u(ua

— 1) (и + 2) Д* Ь_2

+

+

— ы ( ы а —1)(и8

— и ) Л 5 6 _ з + ... .

(5.2>

5!

Если интерполяционный полином Р(х) записать в виде

Р(х) = D0 + Dx(x

— a) (x — a — h) + D3{x

— a + h) (х — а)(х

— а—

. —h)

+

D2k(x

— a + kh)...{x

— a + kh)

+

... ,

(5.3)

то коэффициенты

(2k)0

!_ 0

;

Л2 *

D =

b

1

Д**+1 6_х

п

L _

Д 2

** - * •

2 * +

1

(26+1)!

/г2 *+ 1

Полином (5.3) запишем с той же

заменой

переменных

в

форме

y=bQ

+ uAb0 + -^-u{u

— l)A2b_i

+

+ - ± - и ( и * _ 1 ) Д з & _ 1

+ . . . .

(5.4)

Сложив равенства

(6.2)

и

(5.4), получим

г/ = ьо + "

— —

+ " i T

1

+

+

" ( " 2 - 1) л 3 Ь - 1 + Д 3 6 - г

+

_ _

( 5 5 )

3!

2

Выражение

(5.5)

называется

интерполяционным

полиномом

член А 2 * и

именно на нем, а не на предыдущем члене 1/2

[А2 *- 1 х

X b_h+l-j-A2ll~lb_h]

обрывается счет, так как знание двух послед-

лих разностей

дает разность

A2"b_h без вычисления функции в но­

вых точках. Следовательно,

полином Стерлинга — четной

степени

буется:

сложений

1,5га +

0,25;

вычитаний

[(га +

I ) 2 + га] 12 =р

гр га/2; умножений

2,5/г — 0,75;

делений п—

1; загрузка

запоми­

нающего устройства 2,5п +

3,5. Для реализации, например

форму­

лы Лагранжа, требуется: сложений 0,5га +

0,25; вычитаний

1,5га

+

+

1,25;

умножений 2 (га +

1); делений га +

3; загрузка

ЗУ Зга +

4.

Для интерполяционного многочлена сложений —га;вычитаний —

— (га +

I) 2 ;

умножений — (га +

I) 2 ; делений га

+

1; загрузка

З У

(га +

2)2 ,

где га — степень интерполяционного

многочлена.

Приближение

линейной комбинацией

Эмпирическая

функция. Пусть

f(x)

— функция,

принимающая

для абсцисс а0, аи

ап

значения

b0, Ьи

Ьп,

а ср0, срь

cpp—

р

выбранных заранее

функций (р<га). Найдем

коэффициенты А

в

выражении

Ф (х) =

А0

с?0 (х) + А1у1(х)

+ ... +

Ар

%

(х)

так, чтобы сумма Е квадратов ошибок, совершенных при

замене

f(x) на Ф(х)

в рассматриваемых точках, была

наименьшей.

Имеем

п

...—Арур(а,),

Е

= 1, £?

при

8 |

=

Ь., — А0ср0(at)

— Агф,(at)

—

/—о

Найдем требуемый

минимум, полагая

п

п

дЕ1дАк

= А0У1

Ф / г (а{) ф 0

(at) +

... + Ар Ц

Ф , (at) % (at)

-

i=0

п

i=0

—

£

ФА

bt

= 0-

1=0

(/е =

0, 1,2,

...,р).

М =

1

п

b t - А0 Е Ф О (а,) 6, + . . . +

S

п + 1

+ 1

V Ьи -

^

1

. '=0

1=0

п

+

Ар Е

ФР

1=0

дЕ

ь

ь

Ао Ф Й (*) Фо (*) d * + ••• +

Ар

\ Ф Й (*) ФР (*)

дАь

— ' <Рк(х) • f(x)dx

=

0.

бок. В точках а0Ь0,

афи

апЬп

получаем ошибки:

Ч =

К — (А0ар0

+ ... + А;>);

e1

=

6 1 - ( X 1 f l ? + . . . + J 4 , ) ;

Сумма квадратов ошибок

E =

i А-

1=0

Условия минимума Е определяются

уравнениями

дЕ/дА0 = 0;

д£/дЛ,

= 0, . . . .

Отсюда получается следующая система уравнений для нахо­

ждения

Л0 ,

А и

А-

А 2

+ А 2 « Г 1

+ - + л , 2 < = 2

;

1=0

/=0

1=0

1=0

(5.6)

A

2

< + А 2

< - '

+ ... + ар

2 1 =

2 ^ -

1=0

1=0

1=0

/=0

•Средняя

величина

квадрата

ошибки

M

= E/(n+\)=[\/(n

+ ])]£[bi-(A0a*

+

...+Ap)]2.

1=0

s(x)

=

f(x)-[AQxP

+

... +

Ap}.

(5.7)

Интеграл

от

квадрата

ошибки

ь

Е

=

(' е 2 (х)

dx.

(5.8)

Коэффициенты

А0, Аи

Ар

определяются

условиями

минимума

£ ,

т. е.

1

дЕ

' ХР [A0XP

+

AVXP~1

+

... +

Ap—f

(x)]dx= 0.

2

дА0

Отсюда

ь

Х°-Р dx + Ai

j* л:2""1 dx

+

... +

Ар

j ' xPf (x) dx\

Д

j

j

х^> dx

=

a

a

a

a

(5.9)

b

b

b

b

До j

XP dx + Ai

j

x*"1

+

... +

Ap

j ' dx

= j /(x)

dx.