Файл: Голембо, З. Б. Алгоритмизация и программирование электротехнических задач на электронных цифровых вычислительных машинах учеб. пособие.pdf

Вычисления значительно упростятся, если промежуток инте­ грирования будет равен — 1, + 1. Перейдем к этому случаю с по­ мощью замены переменной

х = (а + Ь)12 + X (Ь — а)/2.

Нужно найти полином В0Х? + ...+ Вр, который наилучшим образом приближается в среднем к функции ц>(Х) =f[(a + Ь)12 +

+X(b — а)12] в промежутке между — 1 и + 1. Положим

1

Средняя величина квадрата ошибки

М = Е/2.

Учитывая формулы (5.7) и (5.8) и систему (5.9), можно написать

что

1 Р

Bp_tIi как функции интегралов / для различных значений Р

1-1

выводится на печать.

60

§ 5.4. Функциональные полиномы. Определение зависимости вход-выход в нелинейных' электрических системах

Соотношение между входом x(t) и выходом y(t) какого-либо уст­ ройства может быть представлено соотношением г/=/(х).Так как вход x(t) принимает различные значения в разные моменты времени, а выход может быть функцией этих значений (если контур имеет память), то соотношения у = f(x) и х = /(г/) на самом деле являются функцией от функции. Под х здесь понимается не число, а целый график, то же самое относится и к у. Поэтому можно поставить во­ прос следующим образом: если у известно, то чему равна связанная с ней величина х? (В этом случае применяется обозначение х = =/-1 (у)). Иначе говоря, если реакция системы — функция у — за­ висит от функции возмущения х, то возможно определение зави­ симости у различных значений хну даже для сложных систем. В случае простых элементов характеристика х от у является инвер­ сной и в этом случае инверсия тривиальна. Если же переменные связаны соотношениями через производные и интегралы, то инвер­ сии становятся намного более сложными и точная инверсия на прак­ тике невозможна. Задача инверсии включает в себя решение не­ линейных дифференциальных уравнений для неспециальных вы­ нуждающих функций.

Приближенные методы инверсии разработаны в теории функций в абстрактных пространствах. Выделяются два метода: инверсия с помощью рядов Тейлора и итерация (метод последовательных приближений).

Ряды Тейлора широко используются для вычислений функций с помощью ЭЦВМ. При этом необходимо иметь в виду, что, вычисляя функцию по ее разложению в ряд, если возможно, необходимо умень­ шить диапазон значений аргумента, для которых требуется это вы­ числение, что может, в свою очередь, значительно уменьшить ошибку округления. Так, например, определение синуса через его разло­ жение в степенной ряд пригодно для всех значений аргументов, но при этом подразумевается, что вычисление синуса необходимо производить с бесконечно большим количеством значащих цифр. На практике при вычислениях на ЭЦВМ степенной ряд для си­ нуса становится совершенно бесполезным при больших значениях аргумента. В рассматриваемом случае задача нахождения синуса произвольного угла сводится к задаче нахождения синуса угла, лежащего между —я/2 и тг/2. Эти предварительные операции с углом изменяют его ошибку.

Разложение по ряду Тейлора. Если можно определить функ­ цию и ее последовательные производные для значения а, близкого к х, то ряд Тейлора вблизи может быть записан в виде

61

Это является обобщением обычного полинома; рассмотренный полином будет частным случаем. Первый член #i(x) зависит от х в первой степени, второй Н2{х, х) — в квадрате и т. д. Выражения для первого члена Hi могут, например, иметь вид:

Характеристики любой линейной системы определяются пер­ вым членом уравнения (5.11) Я ь так как все остальные члены равны нулю. Выражения для второго члена Я 2 могут, например, иметь такой вид:

Н2(х) = xd"-x!dtn- + {dxldt)*-.

Аналогичным образом получаются выражения для членов бо­ лее высокого порядка. Большинство обычных функций, содержащих производные и интегралы высших степеней, могут быть членами функциональных полиномов. Это, однако, не относится к функциям вида x\dxldt\ и к комплексным переменным вида х = х + Zg, где Z — комплексное число. Но если это число может быть записано как полином по Z, то оно является функциональным полиномом.

Функцональные полиномы обладают свойством многолинейности: если член Я 2 {х, х) записан как Н2{х, р), то он линеен как по отношению х, так и по отношению р; аналогично Н3{х, р, а) линей­ но зависит от х, р и q. Это свойство очень важно для преобразова­ ния таких полиномов.

Данная нелинейная функция часто может быть представлена бесконечным функциональным рядом. Во многих случаях такое пред­ ставление очевидно. Например,

у{х) = xl{\ — dxldt) = х + xdx/dt + x{dxldtf + .... (5.13)

•62

Неизвестные коэффициенты с и d можно получить подстановкой уравнения (5.18) в (5.17) и приравниванием к 0 коэффициентов по­ добных членов.

К функциональным полиномам или рядам могут быть примене­ ны те же самые принципы, что и для нахождения инверсий обычных полиномов. Предполагается вид инверсного ряда, производятся подстановки и определяются коэффициенты сведением к нулю членов одного порядка.

§ 5.5. Структура алгоритмов синтеза электрических цепей при аппроксимации по Чебышеву

а. Задача синтеза

Под задачей синтеза понимается такой выбор структуры опре­ деленной части системы или значений некоторых ее параметров, или того и другого вместе, когда обеспечиваются наилучшие в не­ котором смысле свойства системы при заданных условиях ее рабо­ ты и заданных значениях тех параметров, определение которых не было целью синтеза.

Синтез электрических цепей по заданным характеристикам становится основой расчетов самых разнообразных электротехниче­ ских устройств. Решение задачи синтеза электрической цепи скла­ дывается из последовательного выполнения следующих самосто­ ятельных этапов: 1) представление одной электрической характе­ ристики (или нескольких характеристик), положенной в основу рас­ чета в виде некоторой функции от независимой переменной и про­ извольных параметров; 2) приближенное представление функции от независимой переменной посредством функции более узкого клас­ са, либо непосредственное определение свободных параметров, исхо­ дя из условия наилучшего приближения к заданной характеристи­ ке; 3) видоизменение полученного выражения с целью выделения электрических элементов схемы и физическое осуществление схемы.

Условия физической реализации схемы учитываются уже на лервом этапе решения, где они определяют класс или вид функции,

€4