Файл: Голембо, З. Б. Алгоритмизация и программирование электротехнических задач на электронных цифровых вычислительных машинах учеб. пособие.pdf

представляющей ту или иную электрическую характеристику. Если первый и третий этапы основаны главным образом на использова­ нии законов электротехники, в частности теории электрических це­ пей, то второй этап состоит из чисто математических операций, являющихся элементами современной теории приближения или теории конструирования функций.

Для более ясного представления о практической ценности при­ водимых ниже математических задач рассмотрим две задачи син­ теза линейных электрических цепей, которые приводят к необхо­ димости привлечения аппарата приближения.

Расчет однозвенного балансного контура. Для получения мак­ симальной устойчивости канала, состоящего из усилителей, ли­ нии и дифференциальных систем, необходимо в рабочем диапазоне

Балансный контур состоит из сопротивления R и емкости С, включенных последовательно. Значение емкости определяется одно­ значно из условия задачи.

Поставленная задача приводит к необходимости найти в задан­ ном диапазоне частот наилучшее приближение функции Rc с по­ мощью полинома нулевой степени (постоянного) R.

Расчет фильтра с заданной характеристикой рабочего затухания.

Рабочее затухание фильтра нижних частот определяется формулой

&p = l n l / l + | q > ( Q ) | « ,

где ср(£2) — четная или нечетная функция, представляющая собой отношение двух полиномов, т. е. рациональную дробь.

Если поставить условие, чтобы рабочее затухание фильтра при некоторой частоте полосы задерживания было равно затуханию эха при частоте О полосы пропускания, то

При наименьшем значении величины L задача сводится к на­ хождению рациональной дроби, которая на одном из двух задан­ ных интервалов изменения переменного наименее уклоняется от нуля, а на втором из этих интервалов принимает наибольшие зна­ чения. Два кратко сформулированных примера приводят к необхо­ димости исследования экстремальных свойств полиномов и рацио­ нальных дробей.

б. Приближение функции по Чебышеву

Общая задача приближения заключается в том, чтобы найти функцию g(x), которая наилучшим образом приближает функцию f(x) в этом интервале. Выражение «наилучшим образом» может быть определено, например, интерполяционным способом или кри­ терием наименьших квадратов.

При интерполяционном способе приближающая функция совпа­ дает с приближенной в определенных (заданных) точках интервала приближения. Для получения достаточно хорошего приближения в этом случае необходимо иметь большое число точек интерполяции, что связано с громоздкими расчетами. Но даже и в этом случае нельзя быть уверенным, что между точками интерполяции уклоне­ ние реальной характеристики на заданной не превзойдет допусти­ мые значения. Квадратические приближения возникли в результате совершенствования интерполяционного метода.

Выражение «наилучшим образом» может также быть определено условием делать как можно меньшим наибольшее отклонение между функциями f(x) и g(x).

Равномерные приближения являются наиболее совершенными по сравнению с другими видами приближений, так как при задан­

g(x) от f(x) не превосходит этой заданной величины. Эти прибли­ жения называются чебышевскими или наилучшими в смысле Чебышева.

Функция g(x) более удобна в обращении, чем функция f(x). Она может представлять собой, например полином Р(х). Необхо­ димо отметить, что нахождение полинома, который дает максимум отклонения от /(х) на промежутке а, Ь наименьшем по сравнению с любым другим полиномом той же степени — задача очень слож­ ная. Часто ее заменяют более легкой и ищут полином, делающий этот максимум «по возможности» малым.

Многие из методов, применяемых для построения алгоритмов, используют для вычисления функций разложения полиномов Чебышева. Основное свойство последних следующее: среди полино­ мов Рп(х) степени п со старшим коэффициентом, равным единице, полином с наименьшей верхней гранью |Р„(х)| определяется фор­ мулой:

2"-ipa(x) = Ta{x).

Это имеет место при условии — l ^ x ^ l . Ортогональные поли­ номы могут определяться различными способами. Здесь полиномы Чебышева определяются как решения дифференциального уравне­ ния второго порядка:

(1 — л-2) d^yldx"- —xdy/dx + пгу = 0 (п — целое число). (5.19)

Другие свойства полиномов Чебышева выводятся из этого опре­ деления. Если х = cosO, то

66

Тп (х) — jUn (х) = (cos 0 — / sin 0)" = (х q = y ^ = 7 ) B .

мами Чебышева первого рода, имеют большое значение для синтеза

Данные выражения можно также получить, если решение дифференциального уравнения представить в виде обобщенного степенного ряда.

Для нахождения полиномов Чебышева любого порядка устано­ вим между ними рекуррентное соотношение, связывающее Тп+1(х),

сложна. Она может быть сформулирована в виде задачи нелинейного программирования, сводимой к последовательности задач линейного программирования. Сам расчет проводится на ЭЦВМ и представ­ ляет собой самостоятельный интерес.

Для того чтобы подчеркнуть эффективность полиномов Чебы­ шева, представим графически первые четыре полинома Чебышева

68

(рис. 5.1). Последующие полиномы по-прежнему колеблются меж­

Это поле равно полю, вызванному отдельным излучателем, умно­

Этот полином можно легко раскрыть и расположить по степеням cos(cp/2), поскольку каждое слагаемое вида cos(mG)/2) выражается через cos(d>/2) формулой: Tm [cos(0/2)].

Сделаем тождественно равными Рп _1 соэ(Ф/2) с полиномом Q степени п — 1, т. е. выражением Тп_у ^—cos_^_j | Т,, . ^ — j .

Следовательно, вторичные лепестки излучения одинаковы и равны 1/Тп_г(\/а), в то время как главный лепесток равен единице. Если задан предел в последнем выражении, то он определяет величину а, т. е. коэффициенты ап, и позволяет найти соотношение между

формула определяет а и токи. При этом уровень вторичных лепест­ ков оказывается наиболее низким.

69