Файл: Голембо, З. Б. Алгоритмизация и программирование электротехнических задач на электронных цифровых вычислительных машинах учеб. пособие.pdf

в. Экономизация степенных рядов

Полиномы Чебышева имеет смысл использовать в стандартных подпрограммах, применяемых в электротехнических расчетах. Раз­ ложение функции в ряд по полиномам Чебышева для использования в одном частном случае нецелесообразно, так как требует слишком больших затрат труда на программирование. Используя полиномы Чебышева, можно уменьшить число членов в заданных (конечных) степенных рядах без уменьшения точности последующего числового расчета. Найти исправленные коэффициенты несложно, поэтому данный метод, называемый экономизацией степенного ряда, может широко применяться для программирования. При вычислении зна­ чения степенного ряда на ЭЦВМ в этом случае приходится хранить в ЗУ меньшее число коэффициентов. Уменьшается также и коли­ чество арифметических операций, нужных для вычисления ряда при заданном значении переменной. Такая экономизацня особенно целесообразна при использовании подпрограмм, которые должны занимать наименьшее число ячеек памяти и затрачивать меньше времени для реализации их содержимого.

Предположим, что х изменяется на отрезке —• 1<^х'^1 и экономизации подлежит отрезок разложения в степенной ряд функции

При больших п каждый из Ъг меньше, чем соответствующий ко­

уравнения (5.29) можно пренебречь, тогда полученный ряд будет давать численные значения с ошибкой, меньшей е, для любого х

70

основы

ФОРМИРОВАНИЯ АЛГОРИТМОВ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ

§ 6.1. Методы построения уравнений электрической цепи

Физический электромагнитный процесс, протекающий в элек­ трической цепи, можно охарактеризовать, например токами, про­ ходящими в цепи, и приложенными к ней напряжениями. Расчет цепей сводится к постановке следующей задачи. Заданы: электри­ ческие параметры цепи, законы изменения э. д. с , входящих в рас­ сматриваемую цепь; требуется определить токораспределение и напряжения в узлах.

Основой для описания процессов в электрической цепи явля­ ются уравнения Кирхгофа совместно с уравнениями, связывающими ток и напряжение на каждой компоненте цепи через ее парамет­ ры. Для обычного линейного сопротивления уравнение протекаю­ щего процесса составляется на основании закона Ома, для линей­ ного конденсатора — на основании закона Фарадея и т. д. Уравне­ ние, связывающее ток и напряжение на линейной компоненте, будет простым уравнением, так как имеет лишь один коэффициент пропорциональности, являющийся электрическим параметром.

Внеразветвленной электрической цепи расчет тока производит­ ся по закону Ома. В сложной разветвленной цепи общее построе­ ние решений поставленной задачи можно получить при использо­ вании законов Кирхгофа.

Вобщем случае аналитическая запись закона Ома для нели­ нейных компонент представляет собой нелинейное дифференциаль­ ное уравнение, решение которого может производиться с исполь­ зованием различных аппроксимаций. В основу описаний нелинейных компонент при помощи уравнений Кирхгофа положены вольтамперные и, при необходимости, временные характеристики не­ линейных компонент. Характерные точки или участки электричес­ ких характеристик (координаты точек, производные в точках или на участках и т. д.) считаются электрическими параметрами.

Трудность анализа с помощью законов Кирхгофа1 определяет­ ся большой разветвленностью цепи и сложностью, возникающих процессов. На практике с целью резкого сокращения числа уравне­ ний и количества вычислений применяют методы построения реше­ ний, связанные с использованием общих свойств уравнений электри-

1 Первый закон Кирхгофа для q узлов дает q уравнений; по второму за­ кону для п независимых контуров имеем п уравнений. Получается (n+q) уравнений, определяющих (л + 17) токов. После ввода контурных токов, автоматически удовлетворяющих первому закону Кирхгофа, решается сис­ тема только из п уравнений. Ток в каждой ветви можно записать как сумму контурных токов.

71

ческих цепей, а также с непосредственными электротехническими преобразованиями конфигурации схем, искусственным введением источников.

Решения систем уравнений, описывающих протекающие процес­ сы в электрической цепи, могут производиться, основываясь на следующих электротехнических методах: контурных токов; узловых напряжений; свертывания параллельных ветвей; эквивалентного генератора; преобразования п-лучевой звезды в эквивалентный многоугольник и многоугольника (треугольника) в и-лучевую звезду; суперпозиции; взаимности; компенсации. Некоторые из перечисленных методов, эффективно используемые при ручном сче­ те, не имеют такого же значения для алгоритмизации электротех­ нических задач на ЭЦВМ. Поясним вышесказанное при непосред­ ственном рассмотрении самих методов.

Метод преобразования «-лучевой звезды в эквивалентный мно­ гоугольник. n-лучевая звезда, образованная соединением какоголибо узла с X другими узлами посредством сопротивлений Z 1 ( Z2 ,

ZQ , может быть заменена эквивалентным ей полным п-угольни- ком со всеми возможными п(н — 3)/2 диагоналями. Суммарное число ветвей этого многоугольника будет п(п — 1)/2. Сопротивление ветви многоугольника, соединяющей узлы А и В, определяется фор­ мулой:

Возможна и обратная замена—треугольника п-лучевой звез­ дой (полный и-угольник при п > 3 и при произвольных значениях его сопротивлений не имеет эквивалентной ему п-лучевой звезды).

Замена и-лучевой звезды эквивалентным многоугольником в ряде случаев упрощает электрическую цепь, уменьшая на единицу число ее узлов. Данное упрощение не играет существенной роли при составлении алгоритма и практически не вносит изменений в разгрузку памяти ЭЦВМ с точки зрения сокращения объема

При такой замене токи и напряжения в остальных ветвях не изменяются.

Методом свертывания параллельных ветвей можно пользовать­ ся при подготовке исходной информации о параметрах электричес-

72

кой цепи для нанесения их на сменную ленту. Но из-за простоты его нецелесообразно непосредственно вводить в структуру алго­ ритма.

Метод эквивалентного генератора. Этот метод заключается в том, что произвольное число ветвей, соединяющих два узла, можно принять за нагрузку эквивалентного генератора, заменяющего, собой всю остальную цепь. При этом токи в ветвях нагрузки и на­ пряжение между рассматриваемыми узлами останутся без измене­ ния. Э. д. с. и внутреннее сопротивление эквивалентного генератора соответственно будут равны напряжению между узлами при отклю­ ченной нагрузке и эквивалентному сопротивлению части цепи меж­ ду рассматриваемыми узлами при отсутствии э. д. с. в ее ветвях.

Применение метода эквивалентного генератора не потребует полного расчета токов всех участков цепи. Указанный метод не дает возможности рассматривать широкий класс задач. Алгоритм, составленный по такому принципу, может быть использован для отдельных частных задач.

Принцип суперпозиции. Этот принцип не позволяет создать полный алгоритм, так как предусматривает вычисление значений токов в любых участках цепи как алгебраическую сумму токов, создаваемых на этом участке каждой э. д. с. в отдельности. Поэто­ му для создания общего алгоритма токораспределения в линейных цепях этот принцип имеет ограниченное применение. В то же вре­ мя он может быть использован, например, для рассмотрения элект­ ромагнитных процессов в нелинейных цепях, допускающих кусоч­ но-линейную аппроксимацию.

Рассмотренные методы являются вспомогательными и могут использоваться, например, при подготовке исходной информации, в сочетании с основными методами. К последним относятся методы контурных токов, узловых напряжений и уравнения четырехпо­ люсника.

Уравнения четырехполюсника можно рассматривать как част­ ный случай уравнений узловых напряжений и контурных токов,, которые характеризуются рядом отличительных особенностей, обу­ словливающих эффективность и область их рационального приме­ нения. Алгоритмизация, проведенная на принципа'х теории четы­ рехполюсника для ряда задач (например, цепи со свойствами,, заданными относительно входных зажимов), приводит к существен­ ным преимуществам.

§6.2. Использование геометрических

иматричных методов

для построения алгоритмов расчета электрических цепей

В последнее время все большее применение для анализа элек­ трических цепей находят топология и теория матриц. Топологи­ ческие методы для анализа электрических цепей использовались

73