Файл: Голембо, З. Б. Алгоритмизация и программирование электротехнических задач на электронных цифровых вычислительных машинах учеб. пособие.pdf

Исходная матрица z становится матрицей матриц или, иначе говоря, клеточной матрицей и может быть представлена следую­ щим образом:

Полученные подматрицы могут складываться и перемножаться так, как если бы их клетки были обыкновенными матричными эле­ ментами. Результат каждой операции будет аналогичен результатам операций над исходными матрицами: пусть в квадратной матрице z' того же порядка, что матрица z, произведено разбиение на под­ матрицы согласованным образом. При этом соответственно распо­ ложение клеток матрицы z' будет того же порядка, что и у матри­ цы z:

Заменяя подматрицы их полными выражениями, производя все необходимые действия с ними и устраняя вертикальные и горизон­ тальные пунктирные прямые, получаем тот же результат, что и при непосредственном перемножении матриц, из которых составлены данные сложные матрицы.

Система линейных уравнений, составленная по методу кон­ турных токов или узловых напряжений, отображающая электромаг­ нитные процессы в данной электрической цепи, как было показано выше, может быть представлена матричным уравнением. Поэтому сложные матрицы можно рассматривать как алгебраическое ото­ бражение сложной электрической цепи и ее подсхем. Используя сложные матрицы, можно разбить одно матричное уравнение на несколько, что обеспечивает исключение уравнений контуров элек­ трических цепей, не представляющих интереса для анализа (в исклю­ чаемых контурах напряжение может либо отсутствовать, либо быть

93

приложенным). С помощью сложных матриц система вида zl = е представляется в виде двух матричных уравнений:

где элементы матрицы сопротивлений определяются соответствую­ щими выражениями подматриц, приведенными выше.

Рассмотрим исключение контуров при наличии приложенных э. д. с. в последних {формулы исключения зависят от характеристики исключаемого контура).

Предположим, что в системе, состоящей из п линейных уравне­ ний для контурных токов, представленной в виде двух систем в мат­ ричном виде типа (6.20), подлежат исключению токи i 2 в контурах и э. д. с. е2. После элементарных преобразований формула исклю­ чения примет вид:

Z = 21 Х — 2j2 222Z2j.

Матричное уравнение вида е' = z'l содержит меньшее число строк, чем исходное.

Приложенное напряжение определяется как

е' = е—21 2 222e2 .

Искомая система токов с может быть найдена как произведение обратной матрицы полных сопротивлений на е'.

Использование сложных матриц при реализации алгоритма, построенного на основе метода контурных токов или узловых на­ пряжений, позволяет расчленить сложную матрицу на ряд более простых матриц и реализовать алгоритм как некоторую схему его последовательных применений. Общий алгоритм для решения слож­ ной задачи строится при этом достаточно экономно. Существенные преимущества применения сложных матриц выявляются при пост­ роении композиции алгоритмов, включающих в себя операцию оты­ скания матрицы, и зависят от вида тех матриц, для которых нужно находить обратные. Алгоритм, построенный с учетом сложных мат­ риц, допускает различные видоизменения. Благодаря этому задача отыскания матрицы, обратной заданной матрице, сводится к ана­ логичной задаче для нескольких матриц низшего порядка.

б. Применение матриц канонического вида

Приведение матриц к каноническому виду сводится к замене данной матрицы матрицей того же порядка, но имеющей заранее назначенную (более простую) форму. Поэтому такое приведение позволяет осуществить в ряде случаев нахождение системы тожде­ ственных преобразований электротехнических алгоритмов. Алго­ ритм, обладая свойством полноты исходного алгоритма, в то же время будет иметь более простую конструкцию.

94

Пусть дано уравнение электрической цепи, записанное в матрич­ ном виде:

I = уЕ;

(6.21)

y = \\yik И?.

где Е и I соответственно столбцы с элементами E i , ., Еп и h, ..,

In-

Представим, что Е и I есть векторы в /г-мерном векторном про­ странстве. Координаты в этом пространстве преобразуем следую­ щим образом:

95

В общем случае, когда вдоль главной диагонали расположены квадратные клетки, в каждой из которых повторяется одно и то же число, например, в первой клетке Xi, во второй Х2 и т. д., а парал­ лельный ряд над главной диагональю состоит из единиц, форма матрицы определяется однозначно на основе теории элементарных делителей (указанную матрицу принято называть нормальной или

имеющей жорданову форму).

Выбрав неособенную матрицу Т = \\tih\\1 так, чтобы исходная матрица имела формы (6.23) или жорданову, и подставляя I = Ту в исходное матричное уравнение, получаем систему уравнений, при­ веденную к более оптимальным формам. Реализация полученной системы уравнений сводится в ряде случаев к многократному пов­ торению решения уравнения одного типа. Ограничением в приве­ дении матриц к каноническому виду может явиться сложность построения композиций алгоритмов. Алгоритмы могут оказаться слишком громоздкими, а схемы — содержать большое число фор­ мул. Серьезным препятствием материальной реализации алгорит­ ма служит в ряде случаев недостаточный объем памяти ЭЦВМ — для ряда машин большое время выборки чисел из нее. Поэтому рас­ смотренный метод в указанных случаях для расчета электрических цепей может оказаться неэффективным.

§ 6.6. Построение алгоритма расчета взаимных и собственных лроводимостей (сопротивлений)

а. Способы определения элементов матриц проводимостей (сопротивлений)

В задаче анализа электрических цепей считается заданной квад­ ратная матрица проводимостей (сопротивлений), характеризующая пассивную цепь. При этом у = z- 1 . Элементами симметричных мат­ риц линейных электрических цепей служат вещественные или ком­ плексные величины, представляющие собой взаимные и собственные проводимости (сопротивления), входящие в различных ком­ бинациях в уравнения, которые описывают электромагнитные про­ цессы в сложных цепях.

В расположении элементы матрицы рассматриваются как еди­ ное целое. На главной ее диагонали расположены элементы вида

Уи Z

* mm " **ттш

Строки электротехнической матрицы проводимости (сопротивле­ ний) линейно независимы. Взаимным сопротивлением между двумя любыми ветвями тип называется отношение э. д. с , приложенной в ветви т к току, протекающему в ветви п

96

при равных нулю э. д. с. прочих источников питания. При т = пу когда ток рассматривается в той же ветви, к которой подключен

источник э. д. с , отношение Zmn= E/Im (6.25) называется собствен­ ным сопротивлением.

Взаимные и собственные проводимости (сопротивления) опре­ деляются окончательной конфигурацией схемы и величиной прово­ димостей (сопротивлений) отдельных ее ветвей. В сложных схемах с большим количеством звеньев определение полных взаимных и собственных сопротивлений является трудоемкой задачей (большой

На практике для отыскания взаимных и собственных проводи­ мостей (сопротивлений) используют статические модели переменно­ го тока, что дает возможность заменить вычисления непосредствен­ ными измерениями токов и напряжений в цепи, отображающей исследуемую систему. Но при этом не всегда удается с нужной сте­ пенью точности определить значения взаимных и собственных сопро­ тивлений.

При использовании ЭЦВМ алгоритм расчета взаимных и соб­ ственных проводимостей (сопротивлений) строится таким образом, чтобы можно было определять нужные величины для сколь угодно сложных цепей при любых значениях параметров отдельных ветвей схемы. Дополнительный труд для подготовки исходной информации при этом должен сводиться к минимуму. Он заключается в том, чтореальная электрическая цепь (состоящая из индуктивных, емкост­ ных и активных проводимостей) заменяется некоторой цепью, отоб­ ражающей в определенном масштабе исследуемую цепь, и наносится информация (на сменные ленты или перфокарты) относительно пара­ метров и геометрической структуры цепи нужного варианта.

Программа определения элементов электрических матриц долж­ на явиться практически стандартной подпрограммой для формиро­ вания алгоритмов математических моделей электрических цепей. Взаимные и собственные сопротивления применительно, например

кэнергосистемам, вычисляются при следующих условиях:

1)фактически имеющихся нагрузках, представленных сопро­ тивлениями. Например, при рассмотрении задач устойчивости, по-

токораспределения, переходных процессов в дальних передачах при авариях и т. п.;

2) разомкнутых элементах, соответствующих нагрузкам. На­ пример, в ряде задач, связанных с расчетом напряжений в энерго­ системе, питающей несимметричные нагрузки. При учете нагрузок последние заменяются проводимостями в соответствующем узле р:

—jYpo — проводимость, соответствующая нагрузке, приложенной в. узле р. К любому узлу i прикладывается единичное напряжение U

97