Файл: Голембо, З. Б. Алгоритмизация и программирование электротехнических задач на электронных цифровых вычислительных машинах учеб. пособие.pdf

ном случае не всегда возможно выполнение требования экономично­ сти программ. В принципе можно разработать тактический алго­ ритм, который бы программным путем составлял в машине опти­ мальный выбор независимых контуров. Однако при полном исследовании поставленной задачи это весьма сложно.

Так как реализация алгоритма с помощью ЭЦВМ представляет собой автоматический процесс, то «подправлять» что-либо в про­ цессе вычислений е целью лучшего выбора независимых контуров нельзя. Поэтому все должно быть предусмотрено заранее в самой конструкции алгоритма.

Можно воспользоваться и «ручным» выбором системы незави­ симых контуров. Однако такой выбор в случае сложной цепи потре­ бует от вычислителя значительных математических знаний и инже­ нерного опыта.

Неудачно выбранная система независимых контуров при использовании итерационных методов дает медленную сходимость процесса. В ряде случаев даже введение искусственных способов улучшения сходимости не дает должного эффекта. Естественно, что возникает вопрос, имеет ли требование повышенной точности пра­ ктическое значение при использовании метода контурных токов, когда для большого числа электрических цепей точность в 2—3 зна­ ка, а иногда в 3—4 знака, вполне достаточна?

В основе любого расчетного метода лежат определенные теоре­ тические предпосылки, которые в известной степени идеализиру­ ют изучаемый физический процесс. Поэтому, если точность расче­ та такая же, как и точность эксперимента, то сложно установить, за счет чего получены несоответствия между расчетными результа­ тами и опытными: из-за неточности расчета или недостаточной кор­ ректности предпосылок, на которых основывается расчет. Для устранения таких сомнений точность промежуточных вычислений (при принятых предпосылках, положенных в его основу) должна быть значительно выше, чем требуемая точность конечного резуль­ тата.

Алгоритм, построенный на основе метода контурных токов в сочетании с итерационными методами применительно к системе контуров, образованных элементами с несоизмеримыми по величи­ не сопротивлениями, может также не дать сходимости процесса. Процесс реализации алгоритма будет по-прежнему состоять из отдельных элементарных шагов, каждый из которых выполняется согласно правилам, заложенным в программу, при этом ЭЦВМ выполняет операции с определенным числом значащих цифр. Пос­ леднее еще не говорит о том, что есть уверенность в количестве зна­ чащих цифр результата, так как то обстоятельство, что итерацион­ ный процесс сходится к заданному пределу, еще не означает, что последовательность решений будет сходиться к тому же пределу.

Величина погрешности вычислений падений напряжений по замкнутому контуру на некотором этапе может оказаться настолько большой, что контроль правильности решения реально не может быть осуществлен. В этом случае процесс вычислений обрывается

84

на некотором приближении как безрезультатный или предусматри­ вается алгоритм, допускающий естественный обрыв процесса. К чи­ слу таких цепей относятся, в частности, электроэнергетические сис­ темы, в схемах замещения которых должны быть учтены следующие параметры: емкостные проводимости на землю линий электро­ передачи; индуктивные проводимости шунтовых реакторов; экви­ валентные проводимости на землю обмоток трансформаторов; экви­ валентные емкостные проводимости на землю преобразовательных устройств и т. п. Отметим, что учет проводимостей на землю сущест­ венно увеличивает число контуров цепи, а следовательно, и число уравнений системы контурных токов.

Другим немаловажным обстоятельством, ограничивающим алге­ браическое представление электротехнических задач методом кон­ турных токов, является то, что изменение геометрической струк­ туры цепи связано с необходимостью выбора новой системы незави­ симых контуров. Поэтому при изменении условий предыдущие результаты расчета невозможно использовать, так как приходится заново составлять исходную информацию как о геометрической структуре цепи, так и о граничных условиях. Поэтому в случае пов­ торяющихся расчетов при любом, даже незначительном, изменении конфигурации цепи расчет проводится заново с полным воспроиз­ ведением всех его расчетных этапов. Алгоритмы, основанные на уравнениях контурных токов, эффективно используются при рас­ чете цепей, содержащих взаимную индуктивность между участками.

Применение метода узловых напряжений для анализа электро­ магнитных процессов сложных электрических цепей, схемы заме­ щения которых имеют большое число проводимостей на землю, незначительно усложняет систему уравнений. Используя этот метод для каждой схемы, нумеруют узлы и ветви, а также выбирают на­ правления последних. При этом имеется возможность выбора лю­ бого узла в качестве условного нуля отсчета.

При принятой системе узлов и ветвей матрица совпадения сос­ тавляется единожды. Это ценное качество метода узловых напря­ жений позволяет довольно просто видоизменять сопутствующую информацию в случае частичного изменения геометрической струк­ туры цепи, что обычно имеет место при рассмотрении различных вариантов.

Уравнения, составленные по -методу контурных токов, тре­ буют инверсии комплексной матрицы при малом числе итераций. Уравнения, составленные по методу узловых напряжений, не тре­ буют обращения матрицы, но зато требуют большого числа итера­ ций.

Для определения распределения нагрузок в системе метод узло­ вых напряжений использует критерий, состоящий в том, что алге­ браическая сумма токов, протекающих в каждом узле этой системы, равна нулю.

Уравнение узловых напряжений для каждого узла имеет вид:

85

в себя по одному уравнению для каждого своего узла, исключая балансирующую точку) выполняется итеративным способом Гаус­ са — Зейделя.

Алгоритм расчета потокораспределения с рациональной фор­ мой уравнений узловых напряжений, ставший классическим, был впервые предложен X. Ф. Фазыловым.

Алгоритмизация электротехнических задач с помощью метода узловых напряжений позволяет использовать линейные преобразо­ вания для повышения точности расчета: повышенная точность тре­ буется в тех цепях, в которых величины напряжений в смежных узлах могут оказаться близкими. Для повышения точности расчета совершается переход от одной системы координат к другой. Такой переход связан с преобразованием координат, задаваемых выраже­ ниями исходных координат через новые. Так, например, вводя на­ чало отсчета и новые масштабы относительных величин так, чтобы значение потенциала земли, равное нулю, получилось при определенном отрицательном значении нового напряжения, имеем

бросанными вокруг нуля. Например, при расчете потокораспре­ деления А целесообразно взять равной номинальному напряжению. Мощность W\ заменяется величиной

St=WilA\

Уравнение узловых напряжений для k-vo узла с учетом новых переменных после преобразованийбудет иметь вид:

£ (xk - xt) yik - £ y t J - £ xt y t J + s, I (st - 1 ) = o.

В электротехнических задачах, алгоритм которых содержит схему решения, использующую метод последовательных прибли­ жений, процесс решения напоминает движение электрической сис­ темы к установившемуся режиму от некоторого неравновесного сос­ тояния. Преимущество применения в данном случае метода узло­ вых напряжений по сравнению с методом контурных токов помимо удобства для вычислений и значительного сокращения числа ариф­ метических операций, заключается в наличии более быстрых средств для улучшения приближенного решения задачи. Для широкого

86

класса задач при использовании метода узловых напряжений алго­ ритм, будучи достаточно общим как по своей структуре, так и по назначению, может быть построен так, что заранее можно сказать, какой точностью будет обладать результат.

В ряде случаев метод узловых напряжений позволяет примени­ тельно к специфике задачи произвести оценку точности вычисле­ ний. При этом немаловажную роль играет математический метод, с помощью которого решаются уравнения узловых напряжений. Погрешности, возникающие при реализации алгоритма на ЭЦВМ с использованием различных математических методов (при равно­ сильности в обоих случаях метода узловых напряжений), выража­ ются различно.

При проверке результатов вычислений подсчитывается вели­ чина, которая должна обратиться в нуль, если бы не было пог­ решностей округления и погрешностей используемого метода. В качестве примера выбора контроля степени точности проводимых вычислений при рассмотрении, например, вопросов потокораспределения, может служить величина небаланса мощностей. Следова­ тельно, применяя метод узловых напряжений, можно, не прибегая к усложнениям, построить алгоритмы, содержащие самоконтроли­ руемое решение.

Легкость изменения исходной информации при использовании метода узловых напряжений обусловливает высокие эксплуатацион­ ные качества программ. Поэтому в сложных цепях, содержащих большое число проводимостей на землю, предпочтительнее поль­ зоваться алгоритмами, составленными на основе метода узловых напряжений.

В случае расчета потокораспределения для цепи, имеющей я

§ 6.4. Формирование алгоритмов для анализа электрических цепей с учетом уменьшения избыточности информации

а. Уменьшение избыточности исходной информации в линейных цепях

Система уравнений, составленных по методу контурных токов или узловых напряжений, сводится к решению типа:

где А — квадратная матрица п-то порядка; х и Ь — векторы п-го порядка.

87

Решение (6.15) может быть произведено двояко: 1) непосред­ ственным нахождением вектора х; 2) решением сначала более общей задачи определения обратной матрицы от А, после чего ре­ шение системы уравнений (6.15) получается в виде:

При сравнении этих вариантов решения уравнений видно, что первый вариант требует меньшей затраты времени. В большинстве применяемых методов количество операций сокращается примерно на V3 числа умножений (число умножений составляет примерно (1/3)/г3). Определение обратной матрицы и преобразование посред­ ством нее каждого из векторов Ь вносит дополнительно п2 умноже­ ний и п записей для каждого вектора по сравнению с первым вариан­ том.

Не всегда удается хранить в оперативной памяти машины всю исходную информацию, несмотря на то что обращение к внешней памяти создает ряд затруднений в части программной реализации и, кроме того, снижает темп работы ЭЦВМ. Ограничения, налагае­ мые объемом памяти и временем выборки чисел из нее, выдвигают важную проблему сокращения количества первоначальной инфор­ мации, а также уменьшения числа операций в применяемом числен­ ном методе и структуре формирования электротехнических алго­ ритмов.

При использовании свойства взаимности в линейных электри­ ческих цепях при построении алгоритма применяются численные методы, предназначенные для решения уравнений с симметричными матрицами А. Эти методы требуют значительно меньше записей, что обеспечивает экономию времени при реализации алгоритмов на ЭЦВМ, но они должны обладать большой точностью, так как при каждой записи производится одно округление и делается свя­ занная с этим ошибка. Одним из недостатков, присущих алгоритму, составленному с использованием метода исключения, даже в наи­ более благоприятном случае (матрица симметрична), является то, что много времени затрачивается на запись цифр, применяемых на различных стадиях вычисления.

Симметричный вид коэффициентных матриц, возникающих при исследовании электротехнических задач, позволяет создать эко­ номную вычислительную схему. Рассмотрим в качестве примера конструирование нужной разрешимости алгоритмов электротехни­ ческих задач вычислительной схемы по методу Холецкого. Пусть матрица А системы (6.15) —симметрична. Найдем решение системы совместных уравнений. Метод Холецкого в данном случае заклю­ чается в том, что симметричная матрица А представляется в форме

где L является нижней треугольной матрицей; L' — транспониро­ ванная верхняя треугольная матрица.

Образуя произведение LL' и приравнивая его элементы etj

88