Файл: Голембо, З. Б. Алгоритмизация и программирование электротехнических задач на электронных цифровых вычислительных машинах учеб. пособие.pdf

Решение этих систем осуществляется с помощью двух процес­ сов обратной подстановки для уравнений, правые части которых задаются последовательно столбцами единичной матрицы: при пер­ вом процессе обратной подстановки решается относительно у уравнение (6.18), при втором — уравнение (6.19).

При решении уравнения (6.18) контроль каждого процесса обратной подстановки осуществляется способами, аналогичными различным способам контроля по суммам: образованием произведе­ ния г'-й строки и k-ro столбца, равного сумме элементов Ъ.

Количество записей при работе над симметричной матрицей сокращается с 2л2 + 4л до (3/2)л2 + (9/2)л;- число основных опе­ раций для решения системы уравнений, составленных по методу

При рассмотрении вопросов электрических колебаний, устойчи­ вости работы электрических систем и др. сталкиваются с необхо­ димостью определения собственных значений, характеризующих запас устойчивости системы. Исследуемая матрица в этом случае для большого класса электротехнических цепей также приводится к симметричному виду, что обусловливает возможность применения наиболее эффективных методов последовательных приближений для определения собственных чисел, предлагаемых специально применительно к симметричным матрицам. При этом рассматривают­ ся только верхняя или нижняя треугольная матрица. При рас­ смотрении симметричной матрицы вместо ее л 2 элементов в оператив­ ной памяти машины будут храниться (л2 +• п)/2 элементов.

Таким образом, использование общих свойств уравнений элек­ трических цепей практически обеспечивает создание такой вычис­ лительной схемы, которая бы привела к сокращению исходной информации числа операций внутри машины.

б. Построение алгоритмов для анализа несимметричных режимов с учетом уменьшения избыточности исходной информации

Все методы расчета цепей, рассмотренные выше, были выведены из уравнений Кирхгофа. Формы уравнений принимают различный вид и зависят, как было показано, от систем переменных, т. е. систем координат, применяемых для расчета. Свойства этих коор­ динат и преобразований, связанных с переходом к ним, имеют прямое отношение к выбору алгоритма. Среди систем переменных

89

большое распространение получил метод симметричных составляю­ щих. Рассмотрим применение этого метода для построения алгорит­ мов анализа несимметричных режимов и переходных процессов электрических цепей с учетом уменьшения избыточности исходной информации.

Сложные несимметричные режимы в электрической системе соз­ даются при нарушении условия симметрии: в результате различ­ ных повреждений или в результате нормального режима трехфаз­ ной системы с подключенными к ней несимметричными нагрузками. В данном случае (как и при ручном счете) целесообразно использо­ вать метод симметричных составляющих, позволяющий единствен­ ным образом разложить произвольную несимметричную систему трех векторов на три симметричные системы прямой, обратной и нулевой последовательностей.

Каждая из этих схем последовательностей сводится обычным путем к расчетной схеме, приведенной к одной фазе. Алгебраиче­ ским отображением метода симметричных составляющих является сведение системы уравнения с тремя группами неизвестных к трем независимым системам уравнений, в каждой из которых имеется только одна группа неизвестных. Матрица сопротивлений или про­ водимостей каждой группы уравнений симметрична. Для реализации алгоритмов в этом случае используются качества, присущие урав­ нениям с симметричной матрицей коэффициентов, рассмотренные выше.

При изучении различных аварийных режимов изолированное разделение на три независимые системы невозможно (исключение составляют простейшие случаи), поэтому при создании алгоритма должны быть введены связи между системами различных последо­ вательностей. Эти связи определяются уравнениями, которые за­ даются видом нарушения симметрии системы. Применение метода симметричных составляющих не всегда приводит к экономному построению алгоритмов. К таким случаям относятся, например, сложные несимметричные режимы, возникающие в симметричной сети при подключении к ней несимметричных нагрузок во многих ее пунктах. Длительное нарушение симметрии может также иметь место и в условиях нормальной эксплуатации при электрификации железных дорог с питанием их однофазным током промышленной частоты.

Для большинства задач к значительным упрощениям расчетной схемы, увеличению точности расчета и сокращению числа операций при рассмотрении переходных процессов в сложных линейных элек­ трических цепях приводит применение метода симметричных состав­ ляющих с использованием метода последовательных приближений Зейделя — Гаусса.

Можно доказать, что все электротехнические методы построе­ ния решений установившихся режимов линейных электрических цепей, используемые при алгоритмизации, могут применяться и для переходных процессов в линейных цепях, например, методы узловых напряжений и контурных токов. Переходные процессы,

90

возникающие в трехфазных цепях даже в том случае, когда пара­ метры электрической цепи (активные сопротивления, емкости, индуктивности) приняты постоянными, описываются дифферен­ циальными уравнениями высокого порядка.

Учет ненулевых начальных условий усложняет схему счета, так как задачи с ненулевыми начальными условиями являются осо­ бенно неблагоприятными с точки зрения точности приближенных методов. В этих задачах необходим продолжительный последова­ тельный счет, поэтому неточности, допущенные вначале, влияют на все дальнейшие вычисления: неточности в некоторых значениях у(х) вызывают систематическую нарастающую погрешность, при­ водящую к тому, что решения, близкие при х = xi, заметно разли­ чаются при х = хп. Естественно в таких случаях стремление свести решения к системам с линейными уравнениями для разных после­ довательностей.

Используя принцип независимости разных последовательностей симметричных, составляющих токов и напряжений в симметричной трехфазной цепи, а также комплексные схемы замещения, можно построить алгоритм для исследования переходных процессов, ко­ торый имеет такую же форму записи, как и для установившихся процессов. Для построения такого алгоритма используют метод приведения к установившемуся режиму и интеграл Фурье (частот­ ные методы). Применяя эти методы, можно распространить алгорит­ мы, предназначенные для изучения установившихся процессов, на изучение переходных процессов простым алгебраическим расшире­ нием. Так, например, согласно методу приведения к установивше­ муся режиму при исследовании переходного процесса на интер­

вале от 0 до 0ft принято, что приложенная э. д. с. Еа, Еь, ^ д е й с т ­ вует только на этом интервале. Для определения n-й гармоники

Мгновенные значения для данной фазы определяются суммиро­ ванием тригонометрического ряда.

91

Использование частотных методов дает возможность сохранить основную особенность метода симметричных составляющих —пред­ ставление расчетной схемы однофазной схемой со всеми свойствами симметричных матриц для конструирования экономного алгорит­ ма.

§ 6.5. Построение алгоритмов

спомощью сложных матриц

иматриц, приведенных

к каноническому виду

а. Форма сложных матриц для записи алгоритмов

При рассмотрении сложных цепей возникает необходимость характеризовать их более простой и компактной формой записи, обеспечивающей проведение линейных преобразований. Вместо конкретно определяемых действий, относящихся большей частью к числам, исходят из общего понятия действия или операции. При этом записывают зависимость порядка выполнения операций, не прибегая к полным схемам. Примером такой формы записи также

Данная матрица системой вертикальных и горизонтальных пун­ ктирных прямых разбита на подматрицы. Разбиение матрицы про­ изведено таким образом, что все диагональные подматрицы являют­ ся квадратными и разбиение оказывается симметричным.

Обозначим каждую из подматриц одной буквой:

92