Файл: Брикман, М. С. Аналитическая идентификация управляемых систем.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 22.10.2024
Просмотров: 108
Скачиваний: 0
39 |
ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ФУНКЦИОНАЛЬНОГО АНАЛИЗА |
|||
Пример |
1.7. Рассмотрим |
в пространстве L2(a, b) |
интегральное уравне |
|
ние Фредгольма первого рода |
|
|
|
|
|
i/(0 = |
Jь |
K(t,x)x(x)dx. |
(1.34) |
|
|
а |
|
|
Допустим, что рассматриваемый интегральный оператор вполне непре рывен. В этом случае уравнение (1.34) не является корректно разрешимым. Пусть, например, K(t, x ) = t —т; а = 0; b= 1. Рассмотрим функции
* i (t) = n ( t ) G i2 (0, 1); х2{х) =xi(x)+ птхп, (0 ,5 < т < 1 ).
Расстояние между ними
|
■V- |
при п- |
ОО. |
|
|
11*1 (т) —хй{х) || L,(0,l)= |
|
||||
|
2п+ 1 |
|
|
|
|
В то же время расстояние между свободными членами |
уравнения |
(1.34), |
|||
соответствующими функциям хДт) и х2(х), |
|
|
|
|
|
/М1) |
- „ м Г к т а г У ”24T |
i:L- |
|
при ^ °° - |
|
Таким образом, решения уравнения (1.34) могут различаться |
сколь |
||||
угодно сильно в смысле метрики L2(a,b), несмотря на |
то |
что свободные |
|||
члены, отвечающие этим решениям, сколь угодно близки. |
|
|
|
||
В последние годы советскими математиками разработаны эффективные методы решения некорректно поставленных задач, основанные на использовании дополнительной информации о виде решения. Будем в дальнейшем обозначать через у и х точные значения свободного члена и искомого решения, а че рез у и х — их приближенные значения соответственно.
Определение 1.45. Параметрический оператор R[y, a] регуляризует решение уравнения (1.10), если:
1) /?[р,а] определен для всякого а>0, любого у ^ С и непре рывен по у,
2) существует такое значение параметра a = a(6), что для любого е>0 найдется такое 6(e), что из рс(У, у) =^8(е) следует рв(х, х) ^ е , где x = R[y, a(8)], Ах = у.
Из этого определения вытекает, что всякий регуляризующий оператор после выбора параметра а определяет устойчивый метод приближенного решения уравнения (1.10). Рассмотрим основные методы построения регуляризующих алгоритмов.
Определение 1.48 [1.7]. Квазирешением уравнения (1.10) на
зывается элемент х, минимизирующий функционал рс {Ах,у) на некотором компактном множестве ТаВ.
ГЛАВА I |
40 |
|
Вследствие компактности Т квазирешение всегда существует и совпадает с истинным решением, если последнее принадлежит Т. Таким образом, квазирешение представляет обобщение ис тинного решения.
Теорема 1.15 [1.7]. Пусть пространства В и С банаховы и
операторы Лв сильно сходятся к оператору А при 6-^-0 (опреде-
о
ление 1.30.2). Пусть х — квазирешение уравнения А^х — у на ком
пактном множестве Т при \\у —г/Н^б. Тогда \\х — х\\^0 при 6^>-0, если множество Т содержит точное решение х уравнения (1.10).
Следовательно, при переходе к квазирешению условия кор ректности постановки задачи сохраняются.
В работе [1.7] исследован и более общий случай, когда урав нение (1.10) имеет несколько решений.
Существенным при построении квазирешеиия является спо соб задания компакта Т. Чаще всего используется сле дующий прием [1.17]. Задаемся вполне непрерывным опера тором К, действующим в В из нормированного пространства F,
и определяем Т при |
помощи соотношения T= KSr, где Sr = |
= { v :v ^ F , ||o||s^r} — |
шар в пространстве F. Из определения |
вполне непрерывного оператора следует, что построенное таким способом множество Т действительно является компактным.
В данном случае задача нахождения квазирешения сводится [1.8] к задаче минимизации функционала \\AKv—y\\2 + a\\v\\2, в котором а является множителем Лагранжа, определяемым из условия |v ||^г.
Вариационные методы нашли широкое применение при ре шении некорректно поставленных задач. Метод регуляризации Тихонова позволяет строить регуляризующий оператор путем
минимизации функционала |
|
Фа[х, у\^=\\Ах—z/||c2+ aQ (X ]. |
(1.35) |
Здесь Q [x]— неотрицательный функционал такой, |
что усло |
вие £2[х]=^а выделяет в пространстве В компактное множество Т; а > 0 — параметр регуляризации, связывающий точность за дания оператора и свободного члена уравнения (1.10) с точ ностью определения решения.
Пусть ха — элемент, минимизирующий функционал (1.35). Если а выбрано таким образом, что р(Аха, (/)*=: б, то при 6-»-0 имеет место сходимость ха-+х. Выбор параметра а в вариацион ных методах решения некорректно поставленных задач осущест вляется полуэмпирически, в зависимости от информации о по грешностях исходных данных [1.22, 1.32].
Теорема 1.16 [1.4]. Допустим, что оператор А линеен и огра ничен как оператор, действующий из гильбертова пространства Н в гильбертово пространство F, причем известны линейный
41 ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ФУНКЦИОНАЛЬНОГО АНАЛИЗА
огрэничённый оператор А& и элемент у такие, что \\А—ЛвИ^б
\\У-У\\р^д. |
Допустим, |
что в функционале (1.35) |
Q[х] = ||х||н2’ |
Тогда, если |
а ,— - и |
а_1{Фа(^ап, у] — фа[ха, у]} |
одновременно |
стремятся к нулю при 6-Д), то хап сильно сходится к х. |
|||
одесь х |
решение уравнения (1.10); ха — элемент, достав |
||
ляющий минимум функционалу (1.35); хап — минимизирующая последовательность для этого функционала;
Фа[Хап, У] ->Фа[Ха, у] при я->оо.
Особенно эффективным является метод регуляризации при решении интегральных уравнений Фредгольма первого рода. В этом случае мы считаем, что + = L2, a H = L2<-n+i'>— гильбер тово пространство функций, имеющих непрерывные произволь ные до порядка я включительно и производные порядка (я +1), принадлежащие пространству Ь2. Подобная регуляризация на зывается регуляризацией (я+1)-го порядка и обеспечивает од
новременно равномерную сходимость производных до я-го по рядка включительно [1.30].
Г Л А В А II
О С Н О В Н Ы Е У Р А В Н Е Н И Я И Д Е Н Т И Ф И К А Ц И И
Предложен общий подход, получены уравнения идентифика ции для динамических систем, приводимых к линейным*, и рассмотрены вопросы идентификации линейных систем с пере менными параметрами. Построены уравнения идентификации непараметрического и параметрического представления линей ных динамических систем и доказаны условия идентифицируе мости и корректной идентифицируемости последних. В заклю чительном параграфе затронуты вопросы проверки истинности построенной в процессе идентификации модели и определения характеристических параметров устойчивых методов решения уравнений идентификации.
2.1.ОСНОВНЫЕ ЭТАПЫ ПРОЦЕССА ИДЕНТИФИКАЦИИ
В настоящей книге, следуя работе Л. Задэ [2.45], мы будем пола гать, что процесс идентификации состоит в определении на основе анализа входа и выхода такой системы из заданного класса систем, которой эквивалентна исследуемая система. В соответст вии с этим процесс идентификации динамических систем можно представить в виде последовательности следующих операций:
1)определения структуры модели;
2)выбора и проведения эксперимента (активного или пас сивного) для получения экспериментальной информации об ис следуемой системе;
3)вычисления неизвестных параметров модели с использо ванием данных, полученных в процессе эксперимента;
4)проверки степени адекватности модели и исследуемой
системы.
Если степень согласия модели и эксперимента по выбранному критерию согласия не соответствует предъявляемым к модели требованиям, то осуществляется либо дополнительный экспери мент по уточнению параметров, либо пересмотр модели.
Охарактеризуем каждый из этапов идентификации.
В общем случае априорная модель системы описывается некоторым операторным уравнением
А [х, р, z, ш] = 0 , |
(2.1) |
* См. определение 2.3 параграфа 2.2.
43 |
ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ИДЕНТИФИКАЦИИ |
где А — известный оператор,
х— я-мерная вектор-функция входов модели,
р— m-мерная вектор-функция выходных координат мо дели,
z — /-мерная вектор-функция переменных состояния мо дели,
w — ^-мерная вектор-функция неизвестных обобщенных параметров (функциональный параметр)*.
Введя обозначения:
Р, Z, W, X — банаховы пространства,
ЕР, Ez, Ew, Ех — некоторые множества в пространствах Р, Z, W, X соответственно, будем считать, что оператор А имеет область определения D (A) —Ex XEw и область значений R (А) = = EPXEZ, а уравнение (2.1) при любых x e £ i и w ^ E w имеет решение {р, z } ^ E Px E z.
Следовательно, в результате априорного исследования сис темы оператор ее модели (2.1) выбирается известным, но за висящим от некоторых априори неизвестных функциональных (обобщенных) параметров.
Определение 2.1. Динамическая система, описываемая опе раторным уравнением (2.1) и удовлетворяющая приведенным выше условиям разрешимости, называется системой с известной структурой.
В качестве примеров подобных систем, укажем, во-первых, на мно гомерные линейные непрерывные системы, для описания которых исполь зуется либо интегральное уравнение [2.25], либо система дифференциальных уравнений [2.15]. При этом в качестве неизвестных обобщенных параметров можно рассматривать матрицу импульсных переходных функций или матрицы коэффициентов дифференциальных уравнений**. Во-вторых, широкий класс нелинейных систем описывается функциональным рядом Вольтерра [2.35]. В этом случае в уравнении (2.!) в качестве обобщенных параметров фигу рирует блочный вектор, составленный из ядер интегральных операторов ряда Вольтерра.
Таким образом, достаточно общим выражением для функ ционального параметра является блочная матрица-функция
wT= [wiT.......Whr],
где индекс «Г» обозначает операцию транспонирования.
* В формуле (2.1) и последующих для упрощения записи не указана за висимость оператора и входящих в него функций от времени и других аргу ментов, например, пространственных для систем с распределенными пара метрами.
** С незначительными изменениями это утверждение распространяется и на дискретные системы и на линейные системы с распределенными пара метрами.