Файл: Брикман, М. С. Аналитическая идентификация управляемых систем.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 22.10.2024
Просмотров: 122
Скачиваний: 0
ГЛАВА II |
70 |
|
Найдем из уравнения (2.1) выходной сигнал модели р. Мо дель считается адекватной объекту, если гипотеза об условной плотности вероятности случайной функции у
p{y/v,n2) =p {yl x, w, пг)
истинна при использовании статистики {р, у).
Например, если y — v + n2, причем п2— нормальный случайный процесс с нулевым математическим ожиданием, то следует ис
пользовать критерий Стьюдента |
[2.36] для |
проверки |
гипотезы |
|
о том, что случайная величина |
у — р имеет |
нулевое |
математи |
|
ческое ожидание. |
|
|
|
|
2. |
Более существенные результаты удается получить, если |
|||
известна точная математическая модель системы F[x, р, 2 , со]=0,
где F — известный оператор;
со — новый неизвестный вектор обобщенных параметров. Допустим, что выполняется условие
F[x, р, 2 , <й] ш=И)= Л [х, р, z, w],
причем обобщенные параметры w уже определены. Модель (2.1) считаем адекватной объекту, если в результате допол нительных измерений установлена истинн<?сть гипотезы
J [ x , p , g , w ] = inf; J[x,p,g, со];
соеЕ
со
Г[х, р, z, со] =0.
Например, если истинное уравнение и проверяемая модель разрешены относительно выходного сигнала, а функционал по терь дифференцируем по Фреше, то проверяемая гипотеза запи сывается в виде
gradMJ[x,F[x, со], у, со] |ffl=№= 0 . |
(2.32) |
Здесь оператор F описывает уравнение системы
p = F[x,a].
Предлагаемый способ является особенно удобным при ис следовании систем, приводимых к линейным, и функционале потерь типа среднеквадратической ошибки. В этом случае
p = F[x](i)
и вместо уравнения (2.32) получаем задачу проверки гипотезы равенства нулю математического ожидания функции
F*[x] {у—F|>]a>) |ш=ш |
(2.33) |
на основании статистики {х, у}.
71 |
ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ИДЕНТИФИКАЦИИ |
В зависимости от информации о типе распределения воз можно применение различных статистических критериев для проверки гипотезы (2.33) [2.19, 2.20], например, критерия Стьюдента в случае нормальных распределений, критерия знаков и т. п. В работе [2.40] гипотеза (2.33) использована для решения одной частной задачи — проверки истинности импульсной пе реходной функции дискретной системы в том случае, когда опе ратор F представляет собой дискретный функциональный ряд Вольтерра.
Методы проверки гипотез применимы для выбора пара метра а в методе регуляризации Тихонова, а также аналогичных параметров в других устойчивых методах решения некоррект ных задач. Для этого находятся решения задачи идентифика ции для различных значений искомого параметра и одним из изложенных выше методов проверяется истинность подобного подхода.
В заключение параграфа отметим, что критерии проверки статистических гипотез позволяют выделить [2.20] доверитель ную область в пространстве функциональных параметров. В ряде случаев оказывается целесообразным построение всей этой области. В качестве точечной оценки идентифицируемых пара метров выбирается некоторый элемент из доверительной об ласти, удовлетворяющий дополнительному критерию (напри мер, элемент с минимальной нормой, либо центр тяжести до верительной области).
Г Л А В A III
ПРОЕКЦИОННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ ИДЕНТИФИКАЦИИ
Точные решения уравнений идентификации систем различного вида могут быть найдены лишь в исключительных случаях. Поэтому большой интерес представляют методы определения приближенных решений уравнений идентификации и иссле дования вопросов устойчивости и сходимости приближенных решений.
В настоящей главе мы рассматриваем различные вари анты проекционного метода решения уравнений идентифика ции в гильбертовом пространстве, удовлетворяющие условиям устойчивости как по отношению к вариациям исходных дан ных задачи, так и к ошибкам численной реализации соответ ствующих алгоритмов.
3.1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ ПАРАМЕТРОВ СИСТЕМ МЕТОДОМ ГАЛЕРКИНА— ПЕТРОВА
Как отмечалось выше, сущность проекционных методов состоит в замене решаемого уравнения близким к нему в определенном смысле уравнением, причем решение последнего уравнения дол жно определяться проще, чем решение исходного уравнения.
Рассмотрим уравнение идентификации системы, приводимой к линейной (2.10). Допустим, что пространства W к F являются гильбертовыми пространствами. В этом случае общий проек ционный метод совпадает с методом Бубнова— Галеркина [1.27], который, как показано в § 1.6, может быть записан в следующем виде: определить коэффициенты {Wi} линейной комбинации
П
Wi(f>i |
(3.1) |
2= 1 |
|
системы координатных функций {фг}с:7)(/?а)с:и7 |
|
из условий |
|
П |
|
(Я г 1/?аФьфЛ)И1г= (ЛГ1/, l|Jft), (6 = !7д), |
(3.2) |
2= 1 |
|
где {фг} — некоторая координатная последовательность, при надлежащая тильбертовому пространству W.
73 |
ПРОЕКЦИОННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИИ ИДЕНТИФИКАЦИИ |
|
Определение 3.1. Элемент wan^ W из формулы (3.1), в ко |
торой вектор неизвестных коэффициентов wn=[wi .. . wn]T удовлетворяет системе линейных алгебраических уравнений (3.2) , называется приближенным решением задачи идентифика ции по регуляризованному методу Галеркина—Петрова (Буб нова— Галеркина, если фг- = гфг) ■
Из определения 3.1 следует, что сходимость и устойчивость приближенного решения задачи идентификации существенно зависят от того, какие координатные последовательности выби раются для построения разложения (3.1) и системы уравнений (3.2) . Обычно у исследователя имеются априорные сведения о характере поведения искомого решения задачи идентификации. Например, если изучаемая система является линейной, стацио нарной и непрерывной, то в качестве координатной последова тельности {фг} выбирается совокупность убывающих во вре мени экспонент.
Таким образом, имеющаяся информация о физической сущ ности задачи позволяет ограничить класс допустимых коорди натных функций. Модель системы при использовании метода Га- леркина—Петрова представлена на рис. 1 и описывается урав
нением |
П |
|
71 |
|
|
у = А [ х ] |
wM xb |
(3.3) |
1=1 |
1= 1 |
|
где Лг-[х]=ЛЫфг — известные нелинейные операторы.
Уравнения типа (3.3) использовались для решения задачи идентификации в ряде работ [2.13, 3.20, 3.21] без должного обоснования способов построения операторов А{[х] и условий применимости подобных моделей.
Приводимые ниже теоремы позволяют в явном виде сформу лировать требования, предъявляемые к координатным функциям
Рис . 1. Модель системы при использовании метода Галеркина—Петрова.
ГЛАВА III |
74 |
|
в методе Галеркина— Петрова и обеспечивающие практическую возможность реализации процедуры идентификации.
Теорема 3.1. Пусть выполнены следующие условия:
1)координатные последовательности {фг} и {фг} являются полными линейно-независимыми системами функций в гильбер товом пространстве W;
2)lim Q(Gn, Нп) < 1, где Gn и Нп — линейные оболочки эле-
П-+оо
ментов cpi , . . . , фп и ф] ,. . ., ф„ |
соответственно. |
f^ F и любом |
||
В этом и только в этом |
случае при |
любом |
||
а > 0 существует, начиная |
с |
некоторого |
п= п0, |
единственный |
элемент wn, удовлетворяющий |
системе Галеркина—Петрова |
|||
( Я 1_ 1 # а ф 1 , ф 0 • •• ( R l |
^ а ф п , Ф 1) |
1 |
? с |
---------------( |
|
|
|
||
|
|
. Wn — |
|
|
_ ( # 1 _ 1 # а ф 1 , ф п ) •* • { R l |
^ а ф ? 1 ) 'фтг) __ |
A R i - г |
Ф п ) . |
|
,( 3 . 4 )
причем ||щап— даа||^0 при оо.
Здесь даа — точное решение уравнения (2.10). Доказательство. Оператор RARo вполне непрерывен как
произведение ограниченного и вполне непрерывного операторов
(теорема |
1.3.2). Уравнение |
Ri~lRaw = 0 |
имеет лишь |
нулевое |
решение, |
так как нуль-пространство оператора R r 1 пусто, а од |
|||
нородное уравнение Raw —0 |
вследствие |
положительной |
опреде |
|
ленности оператора Ra при а > 0 имеет лишь тривиальное реше ние w = 0. Кроме того, из полноты координатной системы {фг} следует, что последовательность проекторов Рап на конечно мерные подпространства Gn сильно сходится к единичному оператору, так как для любого w ^ lW при п-^-оо \\PGnw — (определение 1.30.2).
Таким образом, все условия теоремы 1.13 выполнены. От сюда вытекает доказываемое утверждение.
Рассмотрим теперь применение метода Галеркина—Петрова для решения регуляризованного уравнения идентификации с возмущениями. Допустим, что вместо системы (3.4) приходится решать систему
П |
|
[ (Rl~lRa4li, фй) —Vгfe] Wi = |
(Rl~1/, фй) —Yfe,. ( k = l , fl) , (3.5) |
i—1 |
|
в результате чего находим |
возмущенное приближение |
|
п |
|
(3.6) |
|
i±=l |
искомого решения задачи идентификации.
75 |
ПРОЕКЦИОННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ ИДЕНТИФИКАЦИИ |
|
Здесь |
матрица Гп= |
k=i и вектор уп= [yi ... у„]т опи |
сывают произвольные возмущения системы (3.4), которые пред ставляют собой соответственно операторы и элементы п-мерного евклидова пространства
Теорема 3.2. Пусть выполнены условия 1 и 2 теоремы 3.1. Тогда найдутся не зависящие от п и / положительные постоян
ные а, с1, |
с2 и натуральное число я0 такие, что при всех п ^ п 0 |
||
и любых |
возмущениях с ||ТИ| | |
с и с т е м а |
уравнений |
(3.5) при |
а > 0 имеет единственное |
решение, для |
которого |
„cdlfli-VIM irj
5: |
----- Ш |
Г |
|
\---- : 11тп11. |
|
' |
(3.7) |
аУцп |
|
|
|
где %п и р.„ — наименьшие собственные числа матриц Грама координатных последовательностей <pi ,. .., ц>п и ярi , . . . , г|з„ со ответственно.
При доказательстве предыдущей теоремы мы показали, что оператор Ri~lRo компактен в W, а оператор Ri^Ra обратим. Поэтому теорема 3.2 является эквивалентной теореме 1.14 при менительно к уравнению (2.10).
В дальнейшем нам понадобится следующая лемма.
Лемма 3.1. Пусть оператор Ri положительно определен, т. е.
Si = inf М ” ’ *» ■ >0. Тогда функционал h(a) = \\wa- w 0\ не- |
||
w*=W |
INI2 |
к нулю при а-Н), если |
прерывен |
по а при а > 0 и стремится |
|
уравнение |
|
|
|
R0w0= f 0 |
(3.8) |
имеет единственное решение при любом fo^F.
Доказательство. Легко показать, что в условиях леммы при любом а > 0 справедлива оценка
НЯа-1И sup |
\\Ra~lf\\ |
|
ll/ll ' |
||
/SF |
|
INI |
|
1 |
Z l r |
I ^ N I |
^ |
a p i + P o |
где |
|
|
|
P o = |
(Row, w) |
> 0 . |
|
i n f |
INI2 |
||
|
i»eW |
|
|