Файл: Брикман, М. С. Аналитическая идентификация управляемых систем.pdf

Непрерывность h(a) вытекает из полученной оценки для ||/?а~1|

иследующих соотношений:

\h (a l) —h (a 2) | = | ||ша1—ш0||— \\wai—w0\\| <

Wwa—w^W — II (Я аГ 1— /?«*-*) foil ^ | а 2— а 4| х

Х11^аГ1^1--^а2_11' llfoll ^

|а 2— cci) -llfoll

l|/-/?oi?a2- 1ll-

(oCiPl+ Po) «2

Доказательство второго утверждения леммы сводится к построе­ нию оценки для нормы элемента R<s(wa— w0):

\\Ro(Wa,~w0) |= ||a/?i^J|<a||/?ia>0||+a||#i(twa—™o) II —

Объединяя полученные выше результаты, можем сформули­ ровать условия устойчивости и сходимости регуляризованного метода Галеркина—Петрова при решении задач идентифика­ ции.

Теорема 3.3. Пусть выполнены условия теоремы 3.1 и леммы 3.1, а координатные системы |фг} и {ф*} сильно минимальны в гильбертовом пространстве W. Тогда при любом f0^ W най­ дутся натуральное число п0 и положительные числа а и о та­ кие, что приближенное решение г5аи задачи идентификации по методу Галеркина—Петрова устойчиво по отношению к малым

возмущениям системы (3.4) при п ^ п 0 и ||Г„||^астУЯоро, причем

Доказательство. Воспользуемся неравенством треугольника для оценки погрешности приближенного решения

\\wan—®ol|sSl|z5a«— Wan\+ \\wan—0>all + l|a>a— Я>о||. (3.10)

помощи линейной комбинации функций rn = R\~i Яафг

Система функций {%г} линейно независима, так как в против­ ном случае нашлись бы (определение 1.2) такие не равные нулю одновременно постоянные лц , . . . , vn, что

п

нетривиальное решение w = V f(p,, ЧТО НеВОЗМ ОЖ НО .

1=1

Обозначим через Хп подпространство, натянутое на элементы

Xl >•••>%П'

гДе {%г} и {г|ц} — ортонормальные базисы в подпространствах Хп и Нп соответственно такие, что

Доказательство. Система уравнений (3.4) однозначно раз­

2=1

Применяя к (3.16) теорему 1.13, получаем, что

0(Х„, Нп) < 1.

Таким образом, подпространства Хп и Нп /г-мерные, а их раствор меньше единицы. В этих условиях, согласно лемме 17.3

работы [1.27], существуют ортонормальные базисы {%i}a:Xn и

{tyi}czHn, удовлетворяющие условиям (3.15). Выбирая постро­ енные базисы в качестве координатных систем и используя ме­ тод Галеркина—Петрова, получаем приближенное решение за­ дачи в виде (3.14).

79 ПРОЕКЦИОННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ ИДЕНТИФИКАЦИИ

Мы показали, что возможна биортогонализация систем коор­ динатных функций с целью упрощения вычислительной про­ цедуры и повышения ее устойчивости. При практическом ис­

Ф ; } = т Л >

Формула (3.14) для решения остается в силе и в этом случае.

3.2. ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА БУБНОВА— ГАЛЕРКИНА ДЛЯ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ ИДЕНТИФИКАЦИИ

В ряде случаев условия устойчивости и сходимости метода Га- леркина—Петрова (теорема 3.3) могут оказаться ограничитель­ ными при практической реализации. Например, требование сильной минимальности координатной системы не выполняется

уравнений идентификации допустимо лишь в том случае, когда точно известно, что функциональный параметр разлагается в степенной ряд и порядок представления (3.1) невелик.

Подобное положение имеет место и для некоторых других часто употребляемых систем функций. Кроме того, во многих случаях априорная информация об исследуемой системе не со­ держит ограничений на координатную систему {фг}. В подобных случаях для определения коэффициентов разложения (3.1) следует применять метод Бубнова— Галеркина.

Теорема 3.5. Пусть координатная система {фг} полна и ли­ нейно независима в сепарабельном гильбертовом пространстве W, а параметр регуляризации а>0 . Тогда невязка RaWa.n — f и погрешность wan— RaTlf приближенного решения задачи иден­ тификации по методу Бубнова—Галеркина стремятся к нулю при п-*-оо и любом f e F , если коэффициенты {да*} выражения (3.1) определяются из следующей системы линейных алгебраи­ ческих уравнений:

Доказательство. Оператор R r lRa= aI + R r 1Ro является пра­ вильным (определение 1.43.3), так как оператор R r lRo компак­ тен. Кроме того, из полноты координатной системы {фг} выте­

ГЛАВА HI

8 0

кает предельная плотность последовательности конечномерных подпространств {Gn} в W. Следовательно, выполнены все усло­ вия теоремы 1.11 и теорема 3.5 доказана.

Сравнивая условия теорем 3.5 и 3.1, мы видим, что метод Бубнова— Галеркина обеспечивает сходимость приближенных решений уравнений идентификации при менее ограничительных условиях, чем метод Галеркина— Петрова. Однако в общем слу­ чае порядок системы (3.17), необходимый для получения задан­ ной точности решения, оказывается выше, чем порядок системы (3.4) при тех же условиях.

Предположим теперь, что уравнения (3.17) вычисляются приближенно, т. е. нам приходится решать уравнения методом

Здесь wan— / ,Wj(pi — решение возмущенного уравнения (3.18) ;

i=i

PGn — ортопроектор на подпространство Gn (определение

1.34).

Оператор Sn и элемент gn описывают произвольные возму­ щения галеркинского уравнения

aWan+PGnR r 1RoWan = PGnR r if,

соответствующего системе (3.17).

Теорема 3.6. Пусть выполнены условия теоремы 3.5. Тогда найдутся не зависящие от элемента f^ F натуральное число п0 и положительное число ап такие, что при всех п ^ п 0 и ||Sn||<an уравнение (3.18) однозначно разрешимо и

СЗ a„-||S„|| ;

числа Pi и Po определены в лемме 3.1.

Доказательство. Оператор R^Ra по условию непрерывно обратим, а оператор (I — PGn) вследствие полноты координат­ ной системы стремится по норме к нулю при п—>-оо. Следова­ тельно, для всех п ^ п 0 уравнение (3.18) однозначно разрешимо