Файл: Брикман, М. С. Аналитическая идентификация управляемых систем.pdf

(теорема 1.12). Число п0 является здесь наименьшим натураль­ ным числом, при котором 0 по>О. Оценка (3.19) вытекает из оценки (1.31), если в последней провести очевидные преобразо­ вания,, связанные с видом уравнения (3.18).

Объединяя результаты теорем 3.5 и 3.6, получаем основную теорему о сходимости и устойчивости метода Бубнова—-Галер- кина при приближенном решении задачи идентификации.

Теорема 3.7. Пусть выполнены следующие условия: 1) коор­ динатная система {<рг} полна и линейно независима в сепара­ бельном гильбертовом пространстве W\

2)оператор R\ положительно определен и ограничен;

3)уравнение (3.8) при любом /0е Т имеет единственное ре­ шение в W.

Тогда приближенное решение задачи идентификации по регуляризованному методу Бубнова— Галеркина устойчиво по от­ ношению к малым возмущениям исходных данных и погрешнос­ тям вычислений, т. е. а) найдутся не зависящие от элемента f0 натуральное число п0 и положительные числа ап и а0 такие, что при всех п ^ п о, 0 < а ^ а 0 и ||Sn||<an решение уравнения (3.18)

an—Ч).

Доказательство теоремы 3.7 основано на использовании тео­ рем 3.5, 3.6 и леммы 3.1 и проводится по той же схеме, кото­ рая использовалась при доказательстве теоремы 3.3 с заменой неравенств (3.11) на следующие:

llgri Зсз

- у —Cslignll

IISJIC min &П>

Мы показали, что регуляризованный метод Бубнова—Галер­ кина является эффективным средством решения уравнений ста­ тистической динамики систем, приводимых к линейным.

Пример 3.1. Рассмотрим задачу идентификации объекта, состоящего из двух последовательно соединенных интеграторов. Допустим, что входное случайное воздействие является винеровским процессом [3.9] и наблюдения ведутся на отрезке [0,1]. Выбрав оператор Ri=I, запишем уравнение иден­ тификации (2.13) в пространстве L2(0 ,1) в следующем виде:

6 — 2733

чивости метода Бубнова—Галеркина при а =0 . В то же время регуляризованные приближенные решения устойчивы и приводят к относительной погрешности того же порядка, что и относительная погрешность задания правой части уравнения (3.20).

* На всех рисунках, приведенных ниже, сплошными линиями изобра­ жены измеренные или рассчитанные функции, а пунктирными — их точные значения, если последние известны.

[1.37]. Ясно, что как элементы ср*, так и элементы ф{ в пред­ ставлении (3.21) можно считать линейно-независимыми, так как в противном случае число слагаемых в разложении ядерного оператора можно уменьшить.

Подставив выражение (3.21) в уравнение идентификации

Для определения постоянных ^ умножим уравнение (3.22) скалярно на элементы последовательности {фг}. В результате

матрица которой невырождена при а>0. Определив решение системы (3.23) и подставив его в (3.22), получаем решение за­ дачи идентификации в виде

Если пространство W сепарабельно, то любой оператор можно записать в виде (3.21) [1.37]. Однако число слагаемых в последнем выражении бесконечно, если пространство W бес­ конечномерно. Поэтому система (3.23) в общем случае пред­ ставляет бесконечную систему линейных алгебраических урав­ нений. На практике для применения описанного метода решения уравнений идентификации следует воспользоваться одним из проекционных методов для получения конечномерного разло­ жения оператора R r lR0. Например, в задаче идентификации не­ прерывных систем следует аппроксимировать ядро интеграль­ ного оператора уравнения идентификации, а затем воспользо­ ваться изложенным методом.

Пример 3.2. В условиях предыдущего примера заменим ядро R0(x,z) его

6*

получаем систему линейных алгебраических уравнений для определения не­ известных функций cpi(z)

Считая t=\ и п = 3, находим

cpi(z) = 1 — 4,5 z2+ 6 z3—2,5 z4; (p2(z) = — 1 +18 z2—32 z3+ 15 z4;

шаем систему (3.23). Подставив полученные значения коэффициентов {|j} в формулу (3.24), находим искомое приближенное решение задачи идентифи­ кации w (г) (рис. 3). Из графиков видно, что существует оптимальное значение параметра регуляризации, при котором погрешность

решения минимальна.

В заключение отметим, что метод аппроксимации оператора уравнения иден­ тификации вырожденным оператором неприменим при а = 0. Это объясняется, вопервых, невозможностью применения формулы (3.24) в этом случае, а во-вторых, неустойчивостью решения вследствие некорректности решаемой задачи.

3.3. МЕТОД РИТЦА В ЗАДАЧЕ

ИДЕНТИФИКАЦИИ