Файл: Брикман, М. С. Аналитическая идентификация управляемых систем.pdf

Теорема 3.8. В задачах идентификации систем, приводимых к линейным, функционал энергетического метода (3.26) и функ­ ционал потерь (2.9) эквивалентны, а обобщенное решение за­ дачи идентификации совпадает с обычным решением уравнения

( 2. 10) .

Доказательство. Преобразуем функционал (3.26)

/ 4[ш] = ([aRl-\-M{A*[x'\A [x]}\w, w) —2 (ay, M{A*[x]y}) =

= a(RiW, w)-\-M{\\A [x]w—z/||2— ||г/!12} = / [ш] —7И{||г/||2}.

Следовательно, функционалы (3.26) и (2.9) достигают мини­ мума на одном и том же элементе wa. Теорема доказана.

Таким образом, при решении задачи идентификации можно функционал Ритца (3.26) заменить на функционал потерь (2.9).

Определение 3.4. Элемент ша", построенный по формуле (3.1), называется приближенным решением задачи идентифи­ кации по регуляризованному методу Ритца, если коэффициенты

с методом Бубнова— Галеркина.

Теорема 3.9. Пусть координатная система {ср*} полна и ли­ нейно независима в гильбертовом пространстве W, а опера­ тор R1 ограничен в W. Тогда система (3.27) при любом п одно­ значно разрешима и ЦШа” —®а!1-^0 при п-*-оо, а>0.

Доказательство. Оператор Ra ограничен, следовательно,

И а 2= («а®. «О ^ W l l l + lltfoll) •N il2.

Это неравенство совместно с неравенством (3.25) показывает, что пространства W и На состоят из одних из тех же элемен­ тов и определяются эквивалентными нормами. Следовательно, координатная система полна в На- Теорема доказана, так как выполнены все условия сходимости метода Ритца [1.19], а опре­ делитель системы (3.27) вследствие линейной независимости элементов <pi , . . . , ср„ отличен от нуля.

$ 7 ПРОЕКЦИОННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИИ ИДЕНТИФИКАЦИИ

Остановимся коротко на вопросе выбора функций {срг}. Как отмечалось выше, оператор Ra часто является интегродифференциальным оператором, соответствующим двухточечной крае­ вой задаче. Однако эти краевые условия являются естествен­ ными, так как появляются в процессе минимизации функцио­ нала потерь, поэтому [1.21] координатные последовательности могут выбираться без учета этих краевых условий.

Теорема 3.10. Пусть оператор Ri ограничен в W, а коорди­ натная система полна и сильно минимальна в W. Тогда прибли­ женное решение задачи идентификации по регуляризованному методу Ритца устойчиво по отношению к малым изменениям матрицы системы Ритца и столбца свободных членов этой сис­ темы, и при специальном выборе параметра регуляризации а сильно сходится к точному решению задачи идентификации при п-+оо, когда возмущения метода Ритца стремятся по норме к нулю.

Доказательство. Из положительной определенности опера­ тора Ra следует [1.21], что координатная система сильно мини­ мальна и в энергетическом пространстве. Отсюда вытекает, что приближенное решение устойчиво [1.20]. Вторая часть теоремы доказывается по той же схеме, что и теорема 3.3.

З а м е ч а н и е 3.3. В случае неограниченности оператора Rt теорема 3.10 справедлива, если координатная система полна в Н , а не в W. После вы­ бора координатных последовательностей в соответствии с вышеприведен­

симметрична и положительно определена. Методы обращения подобных мат­ риц хорошо разработаны [1.12, 1.35] и обычно сводятся к некоторому ите­ рационному процессу. Рассмотрению метода последовательных приближений посвящена следующая глава, поэтому здесь мы не останавливаемся специ­ ально на вопросах решения системы Ритца. Отметим только, что в ряде случаев применение процедуры ортогонализации в энергетическом простран­ стве позволяет повысить устойчивость и упростить вычислительный алгоритм процесса Ритца.

Используя метод Шмидта [1.6], получаем следующие рекур­ рентные формулы для ортонормированной в На последователь­ ности функций {e j, порождаемой системой линейно-независи­ мых функций

89 ПРОЕКЦИОННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИИ ИДЕНТИФИКАЦИИ

В ряде случаев по мере увеличения числа г измеренных реа­ лизаций проводится уточнение коэффициентов {ггц}. Считая без ограничения общности размерность выходной переменной сис­ темы tn = I, введем следующие обозначения:

hrT= [A [xr+i\фй . . . и [Хг+1]ф „];

фП7- • • • Ц>1пт

Фт—

фи1г . - - фппг

На основании леммы 2.6.1 работы [3.25] получаем рекуррент­ ную формулу для обращения матрицы системы Ритца:

(/—Фг~1ЬгкгТ) Фг-1

(3.30)

1 + / г гГФг-1/гг

Соотношение (3.30) позволяет осуществлять уточнение коэф­ фициентов представления (3.1), не реализуя непосредственно операцию обращения матрицы системы Ритца.

3.4. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ ПАРАМЕТРОВ МЕТОДОМ КОЛЛОКАЦИИ

Рассматриваемый в настоящем параграфе проекционный метод был предложен Л. В. Канторовичем [1.11] для приближенного решения дифференциальных и интегральных уравнений и на­ шел широкое применение при решении функциональных урав­ нений в гильбертовом и банаховом пространствах [1.2, 1.27].

Сущность метода коллокации состоит в следующем. При­ ближенное решение уравнения идентификации (2.10) отыскива­ ется в виде разложения (3.4), коэффициенты которого определя­ ются из условия равенства нулю невязки Ra wan—f в выбранных точках gi , .. ., \п области определения свободного члена, т. е. из уравнений

Особенно эффективным оказывается метод коллокации в том случае, когда уравнение (2.10) преобразовано к каноническому фредгольмову при помощи левого регуляризатора Rr*. Система (3.31) для подобных уравнений записывается в виде

я восстановление значений обобщенного параметра возможно как по формуле (3.1), так и с использованием исходного урав­ нения

П

Wan= — ---[ f—Ro У , Шгфг ]•

г—1

В задаче идентификации метод коллокации нашел основное применение при решении интегродифференциальных уравнений идентификации непрерывных систем.

Выберем в качестве координатной системы {ф*} совокупность

мая в полученном выражении в соответствии с общей идеей метода

коллокации 0= |& ( k = l ,п), | ье[а (/), b(t)], приходим к сис­ теме линейных алгебраических уравнений относительно неиз­ вестных коэффициентов Wi(t)

Пm+i

Здесь m — порядок гладкости регуляризующего алгоритма. Наи­ более трудоемкой задачей при построении системы (3.32) явля­ ется вычисление входящих в нее интегралов. Последнюю опе­ рацию можно существенно упростить, если воспользоваться ме­ тодом механических квадратур [3.16].

Допустим, что одним из описанных в главе 5 методов урав­