Файл: Брикман, М. С. Аналитическая идентификация управляемых систем.pdf

Уравнение (5.48) с учетом принятых допущений записыва­ ется в следующем виде:

е

'K{t)wCL(t,Q)-\- J wa(t, т)Ф(^, 0—x)dx—.

(5.52)

В дальнейшем используются следующие обозначения для прямого и обратного преобразований Лапласа:

В тех случаях, когда из контекста ясно, по какой перемен­ ной осуществляется преобразование, индекс 0 будет опускаться. Применив к уравнению (5.52) преобразование Лапласа по ар­ гументу 0 и используя результаты предыдущего пункта, полу­ чаем

’■«‘•«“МпчгнйЬгЬ

(5.53)

Формулы (5.53) представляют явные выражения для реше­ ний уравнений (5.49) в рассматриваемом случае и позволяют значительно упростить вычислительную процедуру. Особенно удобным оказывается использование уравнения Лапласа для решения уравнения Винера—Хопфа (5.45).

Выражение (5.52) при этом представляет интегральное урав­ нение Вольтерра с ядром типа свертки

t

Яша ( 0 + j wa(x) [Nl(t—x) —N2{t—x ) ] d x =

о

(5.54)

VT= j wa(x)q2T (r)dx.

0

Решение уравнения (5.54) определяется следующими фор­ мулами:

Обобщение формул (5.55) на задачу решения многомерного уравнения Винера—Хопфа не представляет затруднений. Мы применили к уравнению (5.54) одностороннее преобразование Лапласа, поэтому выражения (5.55) определяют физически реа­ лизуемую импульсную переходную функцию без осуществления процедуры факторизации матрицы спектральных плотностей. Таким образом, формулы (5.55) описывают эффективный вычис­ лительный алгоритм решения уравнения Винера—Хопфа при условии (5.39).

Предлагаемый метод применим и к уравнению Винера— Хопфа первого рода. В этом случае

Я =0; N ( t ) = R xx(t)-, f ( t ) = R yx(t);

N i ( t ) = N 2 ( — t ) \ < P i(0= 4M f); Фг(0 =-ф1(0-

Для повышения устойчивости получаемого по формулам (5.55) решения используется следующий способ. Элементы век­ тора v находятся из условия равенства нулю тех компонент изображения

==Lvh(5) j2(s)

— [^/(s) —vtL,j,2(s)] [Ljv,(s) —LN2(s) -j-^]-1,

которым соответствуют физически не реализуемые оригиналы, т. е. из условия компенсации полюсов в правой полуплоскости комплексной плоскости, а также компонент, представляющих производные б-функции.

Устойчивость полученного решения по отношению к ограни­ ченным возмущениям в уравнении является следствием зату­ хания найденного решения при t-*-00.

такую же аппроксимацию, что и в примере 5.1. При помощи данного раз­ ложения можно аппроксимировать корреляционные функции стационарных случайных процессов с любой степенью точности [5.11], поэтому последую­

ется изображением импульсной переходной функции физически возможной системы

рис. 13, причем оба графика практически совпадают.

Изложенный метод без существенных изменений применим и для реше­ ния уравнений идентификации многомерных стационарных линейных систем.

тельно различаются по своим статистическим свойствам, а именно ошибки автосчисления координат представляют собой медленно меняющиеся функции и накапливаются со временем, а ошибки системы радиообсервации вызыва­ ются высокочастотными помехами радиоканала. Подобное различие спектров позволяет обеспечить высокую эффективность комплексирования навигацион­ ной системы. Эквивалентные структурные схемы [5.13] преобразования по­

описывающие помехи измерения курса, скорости, пеленга и дистанции соот­ ветственно;