Файл: Брикман, М. С. Аналитическая идентификация управляемых систем.pdf

находим, что уравнение идентификации сводится к решению за­ дачи Коши

В частности, при r = n решение записывается в явном виде

5.5. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ ИДЕНТИФИКАЦИИ МЕТОДОМ ИНТЕГРАЛЬНОГО ИНТЕРПОЛИРОВАНИЯ

В этом параграфе укажем на возможность применения методов интегрально-параболического и интегрально-экспоненциального интерполирования на нестационарных отрезках для решения уравнений типа (5.1).

177 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИИ ИДЕНТИФИКАЦИИ

Для выяснения сущности метода интегрального интерполи­ рования рассмотрим следующую задачу. Пусть в обозначениях

где Ф „(/) — матрица системы Галеркина-—Петрова; fh = (f, ФОПогрешность аппроксимации при этом определяется следую­

щим выражением:

Если требуется увеличить порядок аппроксимации в выра­ жении (5.34), то необходимо пользоваться следующими прос­ тыми соотношениями:

где

Ht)

fn,n+i(i)= J fn(t,Q)^n+i(t,Q)clQ-, a(t)

задачи интегрального интерполирования функций.

12 — 2733

Интегрально-параболическое интерполирование на отрезке [О, 1] рассмотрено в работе [5.6]. Допустим, что нам известны значения

fi(t)=f[t,a(t)], fz(t)=f[t,b(t)],

bit)

Тогда, преобразуя результаты работы [5.6], получаем, что решение задачи интегрально-параболического интерполирова­ ния на нестационарном отрезке дается формулой

m i n ( n — i.ft — 1)

Теорема 5.4. Предел интегрально-параболического ряда функции f(t, 6) на нестационарном отрезке [а(7), b(t)] при стягивании этого отрезка к точке a(t) представляет отрезок ряда Тейлора функции /(/, 0) в точке 0= а(£).

Доказательство. Обозначим

(k~\, n— 1)

и перепишем разложение (5.35)

n—1

h= О

Используя определение интегрально-параболического интер­ полирования, математическую индукцию и правило Лопиталя, получаем

'Bl( t ) = lim £/<»>(*) =

b(t)-+a(t)

Теорема доказана.

Отметим следующие преимущества интегральных рядов по сравнению с обычными методами аппроксимации:

а) при построении интегрального ряда не требуется опера­ ция дифференцирования, что удобно при аппроксимации экспе­ риментальных зависимостей;

б) возможность представления функций, имеющих разрывы первого рода или описываемых различными уравнениями на различных участках;

в) надежность аппроксимации вследствие учета поведения функции на всем отрезке; в то же время изменение ^рактера функции вне интерполируемого отрезка не влияет на коэффи­ циенты разложения;

г) лучшая обусловленность матрицы системы по сравнению

сметодом наименьших квадратов; д) увеличение точности разложения достигается как увели­

чением числа членов ряда, так и уменьшением величины неста­

ционарного отрезка.

Решение задачи интегрально-экспоненциального интерполи­ рования получается при помощи замены переменных в (5.35) и имеет вид

fn[t, b ( t ) - Q ] = h ( t )

12*

где a{t, 0 ) = e - re—e-rwo-aw]; p(f, 0) = 1—е-г[ьц)-«ц)];

г — произвольное число;

h(t)=f[i,a(t)]-, f2(t)=f[t,b{t)] -

b(t)—a(t)

СП — e - r x ) i - 3

f i ( t ) = r J ----- Г - гП----f [t, b{ t) - x} e ~r4x.

В задачах управления часто выполняются условия f(t, 0) = ==f(t —0), a(t) = —оо, b(t)=t. При этом разложение (5.36) при­ нимает особенно простой вид

71 — 1

®/i = lim sL/(s), /2 = lirn sLf(s),

S-Ю S^oo

i- 3

t.= .,-V ( — П ft7./[r(fe + 1)] (/ = 3,n).

'k ! (i — k —3) !

k=0

5.6. АЛГОРИТМЫ РЕШЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ИДЕНТИФИКАЦИИ ВТОРОГО РОДА

В предыдущих параграфах было показано, что широкий круг задач идентификации импульсной переходной функции приво­ дит к необходимости решения интегрального уравнения Фред­ гольма следующего вида:

b(t)

m