Файл: Брикман, М. С. Аналитическая идентификация управляемых систем.pdf

К уравнению (5.38) применимы обычные методы численного решения уравнений Фредгольма [1.9, 1.21]. Эти методы рассмот­ рены в третьей н четвертой главах применительно к задаче ре­ шения операторного уравнения идентификации (2.10).

В настоящем параграфе предлагаются простые алгоритмы определения toa(l, 0) из выражения (5.38), использующие спе­ циальный вид ядра N(t,B, т). Допустим, что функции Ni(t,Q, т) являются разложимыми функциями, т. е. на нестационарном от­

где фдДт), ф,7( (1, т) — известные линейно-независимые функции.

Это предположение при решении практических задач обычно выполняется, что позволяет значительно упростить процедуру решения.

Рассмотрим алгоритмы, которые вытекают из разложения

(5.39).

1. Приведение интегрального уравнения (5.38) к эквивалент­ ной системе дифференциальных уравнений.

Перепишем уравнение (5.38) с учетом (5.39)

о

X(t)wa(t, 0 )+ ф 1т (1, 0) J wa(t, x)cpi(f, x)dx-\-

в

Произведем в уравнении (5.40) замену переменных по фор­ мулам

Умножив уравнение (5.40) на блочный вектор ср(^, 0) и пре­ образовав полученное выражение в соответствии с (5.41), при­ ходим к следующей системе дифференциальных уравнений:

Граничные условия для системы (5.42) вытекают из урав­ нений (5.40)

Таким образом, уравнение (5.38) эквивалентно задаче Коши (5.42), (5.43) для системы обыкновенных линейных дифферен­ циальных уравнений, методы решения которой хорошо разра­ ботаны [2.19, 1.21]. После того как решение задачи Коши най­ дено, определяем искомую импульсную переходную функцию по формуле, вытекающей из (5.40), с учетом обозначений (5.41).

З а м е ч а н и е 5.6. Для стационарных систем, идентифицируемых на полубесконечном интервале при стационарном входном воздействии урав­ нение (5.38) принимает вид

а функции Ni(t — x) описываются следующими разложениями:

Л5(г-т)=ф,-Н0фг(т), (г=1 .2 ).

Задачи Коши (5.42), (5.43) в данном случае упрощаются:

^Н(0+Р(0и(0=У(0-

Hi(0) =Ц2(°°) =0.

Диагональные элементы матрицы (3(0 являются постоянными числами, причем

Spp(0 =iv,(0) —лг*(0).

2. Преобразование интегрального уравнения Фредгольма

(5.38) к интегральному уравнению Вольтерра.

Интегральные уравнения типа Вольтерра являются частным случаем интегральных уравнений типа Фредгольма [1.9], по­ этому с вычислительной точки зрения решение первых проще.

Уравнение (5.38) является интегральным уравнением Воль­ терра тогда и только тогда, когда

При этом в предположении о квадратичной суммируемости ядра и свободного члена уравнение (5.38) всегда имеет решение

[1.34] в L2[a(t), б(г')].

Допустим, что условие (5.46) не выполняется. Используя

vT( x ) = J wa(t, x)cf2T(t, x)dr,

a(t)

преобразуем уравнение (5.38) к следующему виду:

X(t)wa(t,Q)-\- J wa(t, т)Ф(/, 6, x ) d x =

a(t)

(5.48)

Мы показали, что интегральное уравнение Фредгольма (5.38) эквивалентно уравнению Вольтерра (5.48), содержащему в пра­ вой части неизвестный вектор v(t).

Кроме того, ядра этих уравнений совпадают, поэтому оказыва­ ется удобным построить резольвенту для ядра Ф(1, 6,т), а за­ тем определить решение уравнений (5.49) при помощи резоль­ вентного ядра по известным формулам [1.34].

Используя принцип суперпозиции, получаем следующее вы­ ражение для решения уравнения (5.48):

тификации (5.38):

1) разрешимо в том и только в том случае, когда матрицы F(t) и [F(t)g(t)} имеют один и тот же ранг;

2) имеет единственное решение, если det К(/) =7^=0 .

185 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ИДЕНТИФИКАЦИИ

Доказательство. Выше показано, что уравнение (5.38) экви­ валентно уравнению (5.48). Решение последнего полностью определяется свойствами системы линейных алгебраических уравнений (5.51). Теорема 5.5, таким образом, является следст­ вием теоремы о разрешимости системы линейных алгебраичес­ ких уравнений и мы предлагаем читателю самому убедиться в правильности ее утверждения.

При выполнении этих предположений вектор tc»2(A0) не за­ висит от аргумента t и определяется обычным уравнением Вольтерра

е

Яда2(0 )+ J* да2(т)Ф(0, %)d% — 1|з2(0 ). ^0

Функция шД/,0) находится по формуле

wi(t,Q)=fS’ (t)w1(Q),

в которой вектор шДО) удовлетворяет уравнению

в

XWi(9)-\- J wt (т)Ф(в, x)dt — /2(0).

3. Решение уравнения (5.38) при помощи преобразования Лапласа.

Допустим, что ядро уравнения (5.38) зависит только от раз­ ности аргументов 0 и т, т. е.

АД/, 0, т)= А Д /, 0 - т ) .

Это предположение выполняется, в частности, если входной сиг­ нал исследуемой системы является стационарным случайным процессом. Примем для удобства изложения, что а (/)= 0 .