Файл: Брикман, М. С. Аналитическая идентификация управляемых систем.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 22.10.2024
Просмотров: 104
Скачиваний: 0
ГЛАВА I |
30 |
методов построения последовательности {хп}. Эти методы можно разбить на две группы:
1)методы последовательных приближений (итерационные);
2)методы сведения к более простым уравнениям (проек ционные) .
Изложение итерационных методов начнем с того случая,
vкогда уравнение (1.10) представляет собой операторное урав нение второго рода, т. е. А = 1+ К.
Последовательные приближения описываются формулой
хп = у —Кх*-\ (п = 1,2, ... ). |
(1.20) |
Здесь хп — значение приближенного решения на п-м шаге итерации.
Если спектральный радиус оператора К р( К)<1, то при любом начальном приближении х° итерационный процесс (1.20) сходится и имеет место следующая оценка [1.27]:
||*»-*||<с(е) [р(/С) +е]Ч х°+ К х°-у\\, |
(п = 0, 1,2, ...), |
где е — произвольное число, 0 < 8 < 1—р(/();
с(е) — постоянная, зависящая от е.
Врассматриваемом случае последовательные приближения (1.20) сходятся со скоростью геометрической прогрессии.
Пример 1.4. В условиях примера 1.2 решение уравнения (1.16) может быть определено при помощи следующего сходящегося итерационного про
цесса: |
I |
|
*П(0=Нг |
’ («=1.2,...); X0(t) = j - y { t ) . |
|
1 |
о |
-* |
Пример 1.5. Интегральное уравнение Вольтерра второго рода с непре
рывным ядром K(t, т) |
|
|
|
t |
|
|
|
x (t)+ J K(t, x)x(i)dx=y(t), |
(a^t, |
(1.21) |
|
a |
|
|
|
имеет единственное непрерывное решение x(t) |
при любой непрерывной функ |
||
ции y(t) и конечном отрезке |
[а, Ь], так как |
р(К)=0. Это решение |
явля |
ется пределом последовательных приближений |
|
|
|
t |
|
|
|
x n(t)=y(t) — j K ( t , x ) x n~i(x)dx, |
(n = 0, 1,2, . . . ) , |
|
|
a |
|
|
|
причем |
|
|
|
\\xn- x \\c(a |
Kn( b - a )" |
,(n= 1,2,...). |
|
|
n\ |
|
|
31 |
ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ФУНКЦИОНАЛЬНОГО АНАЛИЗА |
Здесь /(= тах| К Д , т) d — постоянная, зависящая от начального при- a^.t, x^b
ближения.
Врассматриваемом примере скорость сходимости выше, чем
угеометрической прогрессии. Подобная сходимость называется факториальной.
Теорема 1.7 [1.14]. Допустим, что в гильбертовом простран стве Н оператор А ограничен, а уравнение (1.10) имеет един ственное решение. Тогда последовательные приближения
* » = ( / —рЛ*Л)хп- ‘ +рЛ*г/, |
(«.= 1,2, ... ) |
(1.22) |
||
сходятся к этому решению при 0 < р < |
|
jj~ • |
|
|
Если оператор А самосопряжен и положителен, то итера |
||||
ционный процесс (1.22) упрощается: |
|
|
|
|
* "= (/-р Л )* « -1 + Р 0 ; |
( о < Р < - щ - ), |
(п = |
1,2-----). |
|
Данная теорема позволяет строить алгоритмы определения приближенных решений уравнений в гильбертовом простран стве при условии ограниченности оператора А.
Описанные выше методы часто называют методами простой итерации, так как в них операторы преобразования не зависят от номера итерации. При решении многих задач большая ско рость сходимости достигается видоизменением итерационного процесса либо применением метода простой итерации после преобразования решаемого уравнения.
Теорема 1.8 [1.27]. Допустим, что оператор А самосопряжен и положительно определен. Тогда решение уравнения (1.10) в гильбертовом пространстве получают как предел последователь ных приближений
|
к- 1 |
|
|
х п + 1 = х п + |
а{А*[у—Ах*], ( п = 0,1,2, ... ), (1.23) |
||
|
г—0 |
|
|
где |
2Х—М—т |
|
|
k-i |
•) |
||
М—т |
|||
|
|
||
М + т \ М—т /
Tk(X) =cos(& arc cos К) — полином Чебышева;
М я т — верхняя и нижняя границы спектра оператора А.
ГЛАВА I |
32 |
|
Последовательные приближения сходятся так |
же, как гео |
|
метрическая прогрессия со знаменателем Тк |
М + т |
|
М — т |
||
|
Из свойств полиномов Чебышева следует, что ни один поли номиальный оператор вида Qk(A) = 1 + а^А+ . . . +ak-iAh~1 не позволяет получить скорость сходимости выше достигаемой при использовании полиномов Чебышева.
Примерами итерационных процессов в гильбертовом прост ранстве, операторы преобразования которых зависят от номера итерации, являются а-процессы [1.27].
хп+1= хп— |
(Л*Ап, Ап) |
(п = 0 , 1, 2,...), |
(1.24) |
(Ла+1Д„, Ата) Аи’ |
где х° — любой элемент из Н; а ^ —1; Ап= А х п — у.
Теорема 1.9 [1.27]. Все a-процессы сходятся с быстротой
геометрической прогрессии со |
знаменателем |
М — т |
опе |
|||
^ ^ , если |
||||||
ратор А положительно определен и самосопряжен. |
пере |
|||||
При различных значениях параметра а процесс (1.24) |
||||||
ходит в широко известные итерационные процессы: |
|
|||||
а) |
при а=1 |
мы получаем |
алгоритм |
метода минимальных |
||
невязок [1.15]. |
|
|
|
|
|
|
|
— ^71__ |
(Ап, ЛД „) |
А |
( п = 0, 1,2, ... ); |
|
|
|
ЦЛДп1!2 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
б) |
при а = 0 |
процесс (1.24) |
описывает метод наискорейшего |
|||
спуска |
[1.10] |
|
|
|
|
|
|
—— ^71 |
IIAnll2 |
|
(п= 0,1,2, ... ); |
|
|
|
(ЛАП, Ап) |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
в) |
при а = —1 приходим к |
методу |
минимальных |
ошибок |
||
[1.36]. Для несамосопряженного оператора Л этот метод реали |
||||||
зуется при помощи следующего алгоритма: |
|
|
||||
хп+1 = |
IIА х п— /7 N2 |
А* (Ах*—у), |
(п = 0 , 1,2, ...). |
|||
хп----- ■_!!— |
— ■*!!— , |
|||||
|
][Л* (Ахп—у) ||2 |
v |
|
v |
; |
|
Методы последовательных приближений позволяют опреде лять последовательность приближенных решений {хп} рекуррентно. Другим типом методов приближенного решения опера торных уравнений являются, как отмечалось выше, методы све дения их к более простым уравнениям.
Мы ограничимся рассмотрением методов, которые объеди няются под общим названием проекционных. Основной смысл
33 ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ФУНКЦИОНАЛЬНОГО АНАЛИЗА
подобных методов состоит в предварительной аппроксимации решаемого уравнения и последующем точном решении аппрок симирующего уравнения. Последнее обычно строится таким образом, что его решение сводится к решению конечной системы скалярных уравнений.
Рассмотрим уравнение (1.10). Допустим, что оператор А действует из банахова пространства В в банахово пространство
С. Выберем две последовательности |
подпространств |
{Вп} и |
||
{С „}; Bn<^D{A)czC- |
CnczC, (п = 1 ,2 ,...) . Пусть Рвп и Рсп — |
|||
линейные операторы, |
проектирующие |
соответственно В на Вп |
||
и С на Сп. Заменим уравнение (1.10) |
приближенным |
|
||
Рсп(Ахп—у) = 0 , |
(xne f i n). |
(1-25) |
||
Решение уравнения (1.25) является искомым приближенным решением, построенным при помощи проекционного метода.
Описанная схема представляет общий вариант проекцион ного метода. Если пространства В и С гильбертовы, то мы при ходим к методу Галеркина— Петрова. Пусть {фД и {фД — две полные координатные последовательности в D(A) и С соответ ственно. Приближенное решение определяется в виде линейной комбинации
|
|
П |
|
|
|
|
хп= |
^ |
Xi(fi, |
(1.26) |
|
|
|
г=1 |
|
|
|
коэффициенты которой находятся из условия |
ортогональ |
||||
ности невязки |
(Ахп — у) первым |
п |
элементам координатной |
||
последовательности {фД |
|
|
|
|
|
П |
|
|
|
|
|
у 1, |
(Лфг, фДс*г = |
(/, фДс, |
(k = l,п). |
(1.27) |
|
г—1 |
|
|
|
|
|
В зависимости от выбора координатных последовательностей различают следующие разновидности метода Галеркина—Пет рова:
а) метод моментов фг= 5фг, где S — известный оператор;
б) метод наименьших квадратов фг=Лфг; в) метод Бубнова— Галеркина, если пространства В и С и
координатные последовательности {фД и {фД совпадают.
Если оператор А положительно определен, то метод Буб нова— Галеркина переходит в метод Ритца, в котором коэффи циенты {хД представления (1.26) находятся из условия мини мизации функционала Ритца
1[х, у] — (Ах, х ) —2(х, у). |
(1-28) |
3 — 2733