Файл: Брикман, М. С. Аналитическая идентификация управляемых систем.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 22.10.2024
Просмотров: 105
Скачиваний: 0
ГЛАВА I |
34 |
|
Пример 1.6. Допустим, что интегральное уравнение (1.16) имеет решение в L2(a, b). Выбрав в качестве системы координатных функций совокупность степеней Ui-1} и используя метод Бубнова—Галеркина, получаем прибли женное решение в виде
xn(t)= £
/=1
Коэффициенты { x j определяются из системы линейных алгебраических уравнений
п |
b |
fь |
K(t.x) xi-id-c]ik~ldt= |
|
|
J [W'-* |
(k= 1, п). |
||
|
|
а |
|
|
При исследовании вопросов сходимости проекционных ме тодов нам потребуется несколько новых понятий, которые объе динены в следующем определении.
Определение 1.43. 1. Последовательность подпространств {Вп} называется предельно плотной в банаховом пространстве В, если для каждого х ^ В выполняется соотношение
р (х,Вп) = inf \\х—хп||-ИЗ при п—>-оо.
хп еВп
2.Раствором подпространств Н\ и Я 2 гильбертова простран ства Н называется число 0 (Я ь Я 2) = \\Р\ —Р2Н, где Pi и Р2 — операторы ортогонального проектирования на подпространства
Я1 и Я 2 соответственно.
3.Линейный непрерывный оператор А, действующий в сепа рабельном гильбертовом пространстве Я, называется правиль ным, если он представим в виде Л = у /+ S + 7\ где уфО — неко
торое число; S — линейный непрерывный оператор, ||S||<|y |;
Т— линейный компактный оператор.
4.Матрица
|
(ф1, <Pl) ■•■(ф1, фп) |
Фп — |
(1.29) |
|
(фп, Ф1) • • • (фп, фп) |
называется матрицей Грама системы элементов cpi , . .., tpn гиль бертова пространства Я.
5. Бесконечная система {срЦсдЯ называется сильно мини мальной в гильбертовом пространстве Я, если наименьшее соб ственное число матрицы (1.29) ограничено снизу положитель ным числом, не зависящим от п.
Легко показать, что ортонормированная система сильно ми нимальная, а любая сильно минимальная система в то же время и минимальная (определение 1.16).
35 |
ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ФУНКЦИОНАЛЬНОГО АНАЛИЗА |
На практике при реализации приближенных методов аппрок симации уравнение строится и решается с некоторой погреш ностью. Поэтому существенным является вопрос о влиянии этой погрешности на точность решения. При этом рассматриваемый приближенный метод считается устойчивым, если малым по норме погрешностям задания решаемого уравнения и ошибкам вычислений соответствуют малые по норме ошибки решения.
Определение 1.44. Допустим, что оператор Ап = РспА и сво бодный член уп= Рспу уравнения (1.25) известны приближенно, т. е. мы решаем уравнение
(■АпА-ААп) (х™+Ах™) = у п+ А у п,
где АА„, Ауп и Ах™ — возмущения оператора, свободного члена и решения уравнения (1.25) соответственно. Процесс определе ния приближенных решений называется устойчивым, если вы полнены следующие условия:
а) стремление к нулю отношения 11ДЛ„|| |
влечет за собой |
\\Аг |
|
обратимость оператора Ап-\-ААп (по крайней мере для доста точно больших п) ;
б) стремление к нулю величин II АЛ„|| |
- М П обес. |
ЦЛ„|| |
И" \\уп\ |
печивает сходимость к нулю относительных погрешностей приближенных решений II Ах™ |
Если имеет место неустойчивость приближенного решения, то объем вычислений резко возрастает, что вызывается необ ходимостью значительного повышения точности составления и решения уравнений (1.25) при возрастании п.
Отметим, что исследование устойчивости процесса нахож дения х™ имеет смысл только тогда, когда последовательность {х™} сходится к точному решению х. При этом исходное урав нение (1.10) и способ построения аппроксимирующего выраже ния (1.25) не играют никакой роли, а устойчивость связана лишь с последовательностями {Ап} и {уп}.
Сформулируем основные теоремы о сходимости и устойчи вости проекционных методов.
Теорема 1.10 [1.27]. Пусть оператор А действует из банахова пространства В в гильбертово пространство С = Я, причем D(A) плотна в В;, а Я (Л) — в Я. Пусть подпространства АВп и Нп— Сп замкнуты в Я, а Р а в ™ и Р н ™ — соответствующие им ортопроекторы.
Тогда для того чтобы при любом i/е Я , начиная с некото рого п= Пд, существовало единственное решение х™ уравнения (1.25) и при п—>-оо невязка Лх™ — у по норме стремилась к нулю,
з*
ГЛАВА I |
36 |
|
необходимо и достаточно, чтобы выполнялись следующие усло вия:
1)II (Равп—/) г/Ц->-0 при п-^оо для любого г/еЯ ;
2)П т0 (АВп, Нп) < I1.
П-УОС
Приведенная теорема представляет общую формулировку условий сходимости проекционного метода. В том случае, когда оператор А является правильным (определение 1.43.3), условие 2) теоремы 1.10 выполняется для любой предельно плотной в гильбертовом пространстве Я последовательности конечномер ных подпространств {Я п} [1.27]. Кроме того, правильный опе ратор непрерывно обратим.
Теорема 1.11 [1.27]. Допустим, что оператор А правильный в сепарабельном гильбертовом пространстве Н = В = С. Тогда не вязка Ахп — у и погрешность хп — А~1у метода Бубнова— Галеркина стремятся к нулю при х—>-оо при любом у ^ Н и любой пре дельно плотной в Я последовательности конечномерных под пространств {Нп}.
Рассмотрим вопросы устойчивости проекционных методов. Допустим, что оператор А = 1 + К — канонический Фредгольмов, и что в гильбертовом пространстве Я задано уравнение ме
тода Бубнова— Галеркина с возмущениями |
|
||
|
xn+ P HnKxn-{-SnXn = PHny + g n, |
(1.30) |
|
где |
и g" — |
соответственно произвольные оператор |
и эле |
мент, |
описывающие возмущения уравнения (1.25); хп — |
реше |
|
ние уравнения (1.30). |
|
||
Теорема 1.12 |
[1.27]. Пусть оператор I + K непрерывно обра |
||
тим в Я и пусть |
|(/ — Рнп) К\\^-0 при /г->-оо. Тогда найдутся не |
||
зависящие от п и у натуральное число п0 и положительное число
о такие, что при п ^ п 0 |
и ||5„||^а уравнение |
(1.30) однозначно |
||
разрешимо и |
|
|
|
|
\\Х* - х |
* |
\ \\Sn\\A\PHny\\ + ^ |
~ |
||g»||, (131) |
где х = II (/—/С)-1||; |
<7= |
к[|| ( 1 - Р н п)К\\ + IIS„||] < |
1; |
|
хп — решение невозмущенной системы Бубнова— Галеркина. Формулировку условий устойчивости и сходимости метода Галеркина— Петрова приведем для случая, когда оператор А
является каноническим фредгольмовым.
Теорема 1.13 [1.27]. Допустим, что оператор К вполне непре рывен, а уравнение х + Кх = 0 имеет только нулевое решение в гильбертовом пространстве Я.
1 limp,, в том случае, когда р„ вещественны, обозначает наибольшую из
П ->оо
точек сгущения последовательности {Рп}, т. е. точек, в любой окрестности которых находится бесконечно много точек из {р„}.
37 |
ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ФУНКЦИОНАЛЬНОГО АНАЛИЗА |
Тогда для того |
чтобы при любом i/ е й существовал, начи |
ная с некоторого п= п0, единственный элемент хп, удовлетворяю щий системе Галеркина—Петрова (1-27), и чтобы при n-vоо последовательность хп сходилась по норме к решению х урав нения х + Кх = у, необходимо и достаточно выполнение следую щих условий:
1) Рап— >-7 сильно;
2) lim @(G„, Нп) <1,
П-*-оо
где Gn и Нп — линейные оболочки координатных последова тельностей ф1 , . . . , <рп и i|:i , . . . , Tjjn соответственно.
Таким образом, для канонических фредгольмовых уравнений в гильбертовом пространстве сходимость проекционного метода полностью определяется выбором координатных последователь ностей. Теорема 1.14 показывает, что это утверждение сохраняет место и при исследовании устойчивости метода Галеркина—Пет рова.
Теорема |
1.14 [1.27]. Допустим, что В = С = Н и вместо сис |
темы (1.27) |
при А = 1 + К мы решаем возмущенную систему |
П |
|
У [((/+7С)фг, Tlph)+Vik]Xi= (у, фД+Уй, ( k = l , n ) , (1.32) i—t
у п |
• |
■ У ы |
Yi |
|
|
е Ъс |
и |
у т |
■ |
* У п п |
У п |
— соответственно м а т
рица и столбец возмущений, рассматриваемые как оператор и элемент евклидова пространства Нп. Пусть оператор К компактен в Я, оператор I + K обратим, координатные последовательности
{фг} и {% } полны в Я и lim © (Gn, Нп) < 1. |
' |
/2->0О |
Тогда найдутся не зависящие от п и у положительные посто янные о, си С2 и натуральное число п0 такие, что при п ^ п 0 и
1|Г„||^а]/АпЦп система (1.32) однозначно разрешима и
< - CM |
L |
■11TJ+ |
Ilgn||. |
(1.33) |
|
|
|
УЦп |
|
п |
п |
|
|
|
Здесь хп= ^ Хгфд хп= |
^ |
; Хгфг- — |
приближения, |
соответ- |
г= 1 |
i= 1 |
|
|
|
ствующие невозмущенной (1.27) и возмущенной (1.32) сис темам; и ц„ — наименьшие собственные числа матриц Грама координатных последовательностей ф1 , .. ., фп и г|ц , . . ., i])n соответственно.
ГЛАВА I |
38 |
|
Мы сформулировали основные теоремы, определяющие усло вия устойчивости и сходимости приближенных методов реше ния операторных уравнений. Примеры, иллюстрирующие воз можности применения этих теорем, приводятся ниже, при изу чении методов решения задачи идентификации.
1.7. НЕКОРРЕКТНО ПОСТАВЛЕННЫЕ ЗАДАЧИ И МЕТОДЫ ИХ РЕШЕНИЯ'
Понятие корректной постановки задач математической физики было введено Ж. Адамаром при изучении краевых задач. За дача является корректной по Адамару, если она удовлетворяет следующим требованиям устойчивости:
1)решение существует;
2)решение определяется однозначно;
3)решение непрерывно зависит от исходных данных за
дачи.
Первые два условия характеризуют математическую опре деленность задачи, а третье связано е возможностью построе ния алгоритмов решения задачи по приближенным исходным данным.
С решением некорректно поставленных задач приходится сталкиваться при исследовании различных практических проб лем. В частности, многочисленные обратные задачи, в которых вместо искомого элемента а наблюдается элемент у, связанный с х функциональной зависимостью, и требуется по результатам эксперимента определить х, являются в большинстве случаев некорректно поставленными.
К некорректно поставленным относятся и различные задачи классической математики [1.33]: численное дифференцирование, проблема моментов, численное суммирование рядов Фурье, вос становление функций, аналитическое продолжение, решение ин тегральных уравнений Фредгольма первого рода, решение систем линейных алгебраических уравнений с вырожденной матрицей, задачи оптимального управления и т. п.
Мы сталкивались с понятием корректности при исследовании разрешимости уравнения (1.10). Если оператор А вполне непре рывен, то данное уравнение представляет собой типичный при мер некорректной постановки задачи, так как оператор, обрат ный вполне непрерывному, не ограничен (теорема 1.3.5). Вследствие этого сколь угодно малым возмущениям оператора А и правой части у уравнения (1.10) могут соответствовать сколь угодно большие погрешности решения х.
1 Излагается по работам [1.4, 1.7, 1.17, 1.22, 1.29, 1.33].