ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 22.10.2024
Просмотров: 106
Скачиваний: 0
Далее рассмотрим стационарные колебания системы с разрывной характеристикой (см. рис. 14, а). Подставляя выражения (1.73) и (1.143) в формулу (1.139), получаем уравнение амплитудно-частот ных характеристик:
У(2б„ + » | Л | ) | Л | - ± S
{ [ * ( ^ , _ , ) + , r + M * f . . . |
J r |
|
(1.159) |
Здесь 0 можно определить по известной [13, 49] формуле (1.75), пренебрегая влиянием сопротивления.
А, см
У |
0,д |
1, в |
а, сек ' |
р и с _ 47. Амплитудно-частотные кривые |
Рис. 46. Амплитудно-частотные |
харак- |
системы с разрывной характеристикой |
||
теристики системы с перескоком при |
П Р И турбулентном сопротивлении для |
|||
турбулентном |
сопротивлении. |
|
различных F, см • сек 2. |
|
Уравнение (1.145) кривой, ограничивающей амплитудные кри
вые, в рассматриваемом случае принимает вид |
|
|
У ( 2 6 „ + « И | ) | Л | = |
. |
(1.160) |
На рис. 47 приведены амплитудно-частотные характеристики, построенные по формулам (1.159) и (1.160) при а = 1 се/с—2, б0 = = 1 см • сект-2, /г — 0,15 см~1. Аналогично можно построить амп литудные кривые и для других сложных характеристик г .
§ 4. Колебания сложных систем
Системы первого рода. Рассмотрим стационарные коле бания нелинейных систем первого рода, описываемых уравнением
x(t) + N(х) • ic(t)+ R(x) = Fcosarf. |
(1.161) |
В соответствии с идеей метода переменного масштаба [13] преобра
зуем |
уравнение (1.161) к виду (1.2). Для этого воспользуемся |
1 |
В частности, для несимметричных характеристик решение приведено в §7 . |
55
соотношениями, |
аналогичными (1.86): |
|
|
г(е)«=/(*)е*( 0 , e = w(t). |
(1.162) |
Дифференцируя |
дважды по е первое соотношение |
(1.162), имеем |
- I — § - £ - < r i + * ) - £ ;
I T * + П + 2 f , +
+ ^ + / а р 2 ) Ф - ( / ' х + /1р)ар].
Подставляя последнее выражение и первую формулу (1.162) в урав нение (1.2), после простых преобразований получаем
[ £ г Х - ^ + 2ъ)х+±г[ъ |
+ ^ + Ч>*-^) |
= |
^е-*Н{в). |
Ф (1.163)
Сопоставляя уравнения (1.161) и (1.163), видим, что они совпа дают при выполнении условий
-^гх— |
- ? - +2г|; = ЛГ(х); |
(1.164) |
- ^ + 1 р 2 |
+ Ф 2 - - ^ яр) = /?(*); |
(1.165) |
ё~^Н (е) = F cos со*. |
(1.166) |
|
К полученной системе трех уравнений с четырьмя неизвестными функциями /, ф, гр и Н присоединим условие (1.6), которое приводит ся к зависимости (1.9). Тогда соотношение (1.164) упрощается к виду
2^{t) |
= N(x). |
|
(1.167) |
Если функция N (х) содержит малый параметр, а функция фазо |
|||
вого угла ф (t), как показано ранее [10, 13], близка |
к линейной, |
||
то основную роль в формуле |
(1.165) будет играть |
третий член, |
|
т. е. будет иметь место следующее неравенство х : |
|
||
чр + Ф (Ф — - ? - ) « : Ф2. |
(1.168) |
||
Пренебрегая всеми членами |
равенства |
(1.165), кроме третьего, |
|
и учитывая выражение (1.9), приближенно получаем |
|
||
R{x)^j^4?(t) |
= f{x).f |
(х). |
|
Это равенство совпадает с уравнением (1.10). Следовательно, его решение определяется формулами (1.21) и (1.22).
1 Неравенство (1.168) является необходимым и достаточным условием сущест вования приближенного решения.
Используя соотношение (1.9), из условия (1.166) находим
Я ( 8) = -^eW)cosat. |
(1.169) |
Ф
Если функция N (х) ж п = const мало отличается от среднего зна чения, то, подставляя формулу (1.169) в уравнение (1.2) и используя соотношения (1.14) и (1.15), получаем уравнение (1.92). Таким обра зом, в этом случае можно воспользоваться результатами § 2 данной главы. В противном случае следует воспользоваться частным реше нием уравнения. (1.2)?которое, как известно, имеет вид
в |
|
г (е ) = J Н (и) sin (е — и) du. |
(1.170) |
о |
|
Переходя к старым переменным по условиям (1.162) и используя формулу (1.169), а также равенство du = ср (т) dx, получаем реше ние для стационарных колебаний в виде
|
t |
f(x) = e~W)F |
J e*( ,) cos сот sin [cp (t) — cp (x)] d x ^ . |
|
n |
Это выражение следует разрешить совместно с уравнением (1.167). Причем для упрощения надо воспользоваться приемом линеариза ции [10, 13] фазовой функции, т. е. использовать формулу (1.13).
Системы второго рода. Рассмотрим стационарные колебания не линейных систем второго рода, движение которых описывается урав нением
x(t) + N{x) • x*(t)+ R(x) = Fcosat. |
(1.171) |
Преобразуем [9, 13, 18] это уравнение в линейное. Для этого вос пользуемся соотношениями (1.3), дифференцируя которые, получаем
равенства (1.4). Подставляя (1.3) и (1.4) в уравнение (1.2), |
получаем |
||||
уравнение (1.5). |
|
|
|
|
|
Сопоставляя |
уравнения (1.5) и (1.171), видим, что они будут сов |
||||
падать при выполнении условий |
|
|
|
||
|
Г л ГМ |
ф(р |
x = N (x) • x2; |
(1.172) |
|
|
|
|
|||
|
- ^М . ф«(0 = /?(*); |
|
(1.173) |
||
|
-f^H(E) |
= |
Fcosat. |
|
(1.174) |
Выражение (1.172) можно записать так: |
|
||||
пх)—7№_ |
= N ( X ) |
и л и |
jr—Js. |
= N { x ) d x . |
|
f W |
Ф(0*(0 |
|
f |
Ф |
|
57
Интегрируя, |
находим |
In /' — In cp = ^ N (x)dx |
+ С. Следователь |
|||||||||||||||
но, |
In -4- = |
[ N (x) dx -)- С. Таким |
образом, |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
Ф |
|
J |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
П * ) « Ф ( < ) е * ( х ) , |
|
|
|
|
(1.175) |
|||||||
где ф (х) = |
|
(х) dx + С. Произвольную постоянную |
найдем |
из |
||||||||||||||
условия |
г|)(0) = 0. |
Имеем С = |
— |ЛГ (х) dx/x=0. |
Следовательно, |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
лр(л:) = |
jW(u)d« . |
|
|
|
(1.176) |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Равенство |
(1.175) можно представить так: |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
y{t)=f'{x)e-^x\ |
|
|
|
|
|
|
(1.177) |
|||||
Подставляя это выражение в |
(1.173),получаем f |
(х) |
• /' (х) е-2Ф(*) — |
|||||||||||||||
= |
R (х). Разделяя здесь переменные и |
интегрируя, |
имеем f2/2 |
= |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
= |
\e^{x)R |
|
(х) dx + |
Clt |
откуда |
|
f(x) |
= |
[2 J emx)R(x)dx |
+ Cz]2 |
, |
|||||||
C2 |
= 2СХ . Полагая |
здесь /(0) = |
0, |
т. е. |
выбирая |
начало |
коор |
|||||||||||
динат в |
положении |
статического |
равновесия, |
получаем |
С2 |
= |
||||||||||||
= |
— 2 ^ e~2^x)R{x)dx\x=,0- |
|
Следовательно, выражение |
для |
амп |
|||||||||||||
литудной |
функции |
принимает вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
х |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f(x) |
= [2\ |
R(u)e-WVdu}2 |
. |
|
|
|
(1.178) |
|||||||
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Используя |
соотношение (1.175), |
из |
условия |
(1.174) находим |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
H(B) = -J—e~^x)cos(i>L |
|
|
|
|
(1.179) |
||||||||
|
Если функция |
(х) допускает линеаризацию, то уравнение (1.2) |
||||||||||||||||
сводится к виду (1.134'), т. е. можно воспользоваться |
результатами |
|||||||||||||||||
§ 3 данной |
главы. В противном |
случае |
следует |
воспользоваться |
||||||||||||||
частным решением (1.170) уравнения (1.2). Переходя к старым переменным по условиям (1.3) и используя формулу (1.179), а также
равенство |
du — cp (т) dx, |
получаем выражение для стационарных |
|
колебаний |
в виде |
|
|
|
|
t |
|
f(x) = |
F [ ё~^х) |
cos сот • sin [cp (t) —- cp (т)] di!,_.«,. |
|
|
|
6 |
|
Для того |
чтобы |
можно |
было воспользоваться этим выражением, |
в правой |
части |
следует |
приближенно положить cp (t) =s Qt; х = |
= Л cos с о т « Л |
( l |
|
|
68
Проиллюстрируем изложенную теорию примером. Допустим, что намагниченный стальной шарик массой т может свободно без трения двигаться в трубке, изогнутой по квадратной параболе (рис. 48), уравнение которой имеет вид х2 = 2ру. Предположим, что трубка вращается с постоянной угловой скоростью Q вокруг вер тикальной оси у и находится в переменном магнитном поле. Пусть сила притяжения шарика магнитами направ лена вдоль оси х и соответствует закону
Q = F0(l + - ^ - ) cos at. |
(I.180) |
Для составления дифференциального урав нения задачи воспользуемся уравнением Лагранжа второго рода
• * - ( - f - ) ~ 5 - - « . |
( U 8 1 ) |
где L — функция Лагранжа, |
представля |
ющая собой разницу |
кинетической и потен |
|
циальной энергий |
системы; |
q — обобщен |
ная координата; Q — обобщенная сила. |
||
Известно [2, 13], что если |
принять q = х, |
|
то левая часть уравнения (1.181) для рассмат риваемой задачи будет
Рис. 48. К задаче о дви жении шарика в пара болической трубке.
d |
I Ы \ |
Ы |
/, , |
х2 |
\ •• , |
х2 |
, |
, |
dt |
{-^•)--w |
|
= m [ l + |
- |
p 2 - ) |
x + m i |
^ x + |
m K x - |
Подставляя это выражение и формулу (1.180) в уравнение (1.181),
после простых преобразований |
получаем |
|
|
||||
х + |
* |
|
:.•>. |
I |
р2 + х— = F cos at, |
"кр2х |
|
р2 + |
х2 |
•Х2 |
+ |
(1.182) |
|||
где Я, = g/p — Q2; |
F = |
Fjm. |
|
|
|
|
|
Уравнение (1.182) аналогично (1.171), причем |
|
||||||
N(x) |
= - р2 + |
|
|
R(x) = - р2 |
Хр2х |
(1.183) |
|
X2 |
|
+ X2 |
|||||
По формуле (1.176) |
с учетом |
первого выражения (1.183) находим |
|||||
(*) = |
Г р2 |
udu |
р2 |
+ х2 |
|
||
+и2 |
|
|
|
||||
Следовательно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2i|)(*) |
= |
р 2 + X2 |
|
(1.184) |
|
|
|
е т |
г |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
Теперь по формуле (1.178) с учетом второго выражения (1.183)
определяем амплитудную |
функцию: |
|
1 |
|
|
|
р2и |
р2 + и? |
|
|
|
р2 |
•du |
= * ] / % |
(1,185) |
||
+ |
и2 |
|
|
|
|
59