ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 22.10.2024
Просмотров: 109
Скачиваний: 0
откуда |
|
|
f'(x) |
= V%. |
(1.186) |
Используя соотношение (1.177), из условия (1.174) имеем |
||
г г . . |
F cos art |
|
Подставляя в это выражение (1.184) и (1.186), получаем возможность представить уравнение (1.2) в виде
v |
У% |
р* + х* |
Далее рассмотрим случай, когда х2 |
р2. Тогда уравнение (1.2) |
|
можно приближенно представить так: |
|
|
г" (е) + |
г (е) = |
cos at. |
Подставляя сюда приближенное равенство (1.15), окончательно имеем
г»(е) + г(е) = - ^ с о 5 4 е . |
(1.187) |
Здесь, как известно [2, 13], |
|
° ~ |
2E(k) |
V-*Лж''+ А |
*у |
2= |
|
2 |
|
о _ |
ЯР |
Р |
2 1 |
р |
+ |
А |
(1Л88) |
где А — амплитуда стационарных колебаний; Е (k) — полный эл липтический интеграл второго рода.
Уравнение (1.187) аналогично (1.16). Следовательно, разыскивая частное решение уравнений (1.187) в виде (1.17), подобно (1.18) на ходим
г* (е) = —т= cos - Q - е.
С учетом общего решения получаем полное решение уравнения
(1.87) в виде |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z (е) = |
В cos е + |
С* sin е -\ |
7 —— |
cos-^- е. |
(1.189) |
|||
|
|
|
* |
|
* |
Уме* — со2) |
0 |
|
|
Здесь |
и |
— произвольные постоянные |
интегрирования, опре |
||||||
деляемые из начальных |
условий. |
|
|
|
|
||||
Переходя в решении (1.189) к старым переменным в соответствии |
|||||||||
с формулами |
(1.3) и (1.13) и учитывая выражение (1.185), получаем |
||||||||
приближенное |
решение уравнения (1.182) в виде |
|
|
||||||
|
|
х = В cos Ы + С sin Ы + |
"a, |
, |
(1-190) |
||||
где В = |
- А - • |
С = |
Yx |
' |
|
|
|
|
|
|
Ух |
' |
|
|
|
условий х (0) = |
|||
Будем искать решение для нулевых начальных |
|||||||||
0; х(0) = 0. Подставляя начальные условия в решение (1.190)
60
и его первую |
производную |
|
х = |
— еВ sin 0г + 8С cos 9г — |
• sin coz, |
находим |
|
А, (ез — ш2) |
|
|
5 = |
WF |
|
|
А, (А2 |
— ш2) |
|
|
|
|
||
Подставляя эти значения в решение (1.190), имеем |
|||
|
|
2WF |
9 + ш |
* = М б 2 - с о 2 ) ( C 0 S ^ - C 0 S |
= |
Я ( 9 » - а » ) 5 Ш |
' ' З Ш - 2 — ' |
1.6 а,сен'
Рис. 49. Амплитудно-частотные характеристики в задаче о дви жении шарика в параболической трубке:
а — О — F |
= О-2 |
,5 |
«I |
—2. |
• |
— F = |
0,125 с,н |
9 б - О - |
• сек' |
||||||||
F = 1 с л - |
сек'—2 |
|
|
|
0,5 |
си • сек |
~. |
v — |
Отсюда видно, что амплитуда колебаний
2WF |
|
(1.191) |
|
М 9 2 —со2 ) |
- |
||
|
Здесь значение 9 может быть определено по формуле (1.188). Амплитудно-частотные характеристики, построенные по форму
лам (1.191) и (1.188) для р = 10 см и А = 1 сект2, приведены на рис. 49. Здесь же показаны результаты решения 1 на ЭЦВМ «Урал-3». Совпадение аналитических и машинных данных для А •<
<4 см можно признать хорошим. При дальнейшем увеличении амп
литуд точность аналитического результата ухудшается |
и для А |
= |
||
= |
10 см |
наблюдается существенное расхождение. Это |
происходит |
|
потому, что становится несправедливым неравенство А = |
10 <^ р |
= |
||
= |
10, положенное в основу приближенного решения. Как видно из |
|||
рис. 49, |
амплитудно-частотные характеристики, построенные |
по |
||
1 Решение получено Н. Я-Гаркави.
61
формулам (1.191) и (1.188),весьма близки к характеристикам линейных систем без трения. Это вытекает из того, что, полагая в формулах (1.188) А да 0, приближенно получаем 0 « Следовательно, уравнение (1.191) принимает вид, соответствующий линейным си стемам без трения
А = ± .Л —2 |
со2 . |
F |
|
Это выражение, как и (1.191), справедливо при выполнении условия F К — со2.
Следует заметить, что, как показывают результаты исследова ний [2, 13], а также согласно выражениям (1.188) и (1.190), колеба тельный процесс будет иметь место при X > 0.
§ 5. Субгармонические
и ультрагармонические колебания
Уточнение фазовой функции. В § 1 данной главы для фазовой функции использовано первое приближение (1.13). Далее рассмотрим второе приближение. Для уточнения фазовой функции найдем точное решение однородного уравнения
л: + ах + р*3 = 0. |
(1.192) |
Будем искать решение этого уравнения в виде 1 |
|
х = A sn (о|>/, k) = A sn и. |
(1.193) |
Подставляя выражение (1.193) в уравнение (1.192) и группируя чле ны, имеем А [—ip2 (k2 — 2k2 sn2 и + 1) + а + РЛ2 sn2 «1 sn и = = 0. Приравнивая нулю квадратную скобку и группируя члены,
получаем (2k2\p* + РЛ2 ) sn2 |
и + (а —i])2 &2 |
— ip2) = |
0. Это уравне |
|
ние удовлетворяется при условиях 2&2ij>2 + |
рЛ2 = 0 |
и а — \\>2k2 — |
||
— i|)2 = о, откуда |
находим |
|
|
|
^ = |
- | / 4 - р Л 2 |
+ а; * 2 = _ 1 |
- J ^ _ . |
(1.194) |
Решение уравнения (1.192) методом переменного масштаба при
начальных условиях |
|
|
|
|
|
t = 0; |
х = х0; |
х = v0 |
|
(1.195) |
|
имеет вид (см. [13]) |
|
|
|
|
|
f{x) = |
f (*„) cosФ (0 + |
и0 sinФ |
((). |
(1.196) |
|
Заметим, что решение |
(1.193) удовлетворяет |
начальным |
условиям |
||
t = Q; |
х = 0; х = Ляр. |
|
(1.197) |
||
1 Здесь и далее sn и и сп и — эллиптические функции Якоби [28, 55]. Реше ние (1.193) известно [35].
62
Сопоставляя начальные условия (1.195) и (1.197) и принимая во внимание формулу (1.32), решение (1.196) можно записать так:
х У а + V2 Р*2 = Aty sin ф (t). |
Подставляя сюда первую |
формулу |
(1.194), имеем |
|
|
* ] A t + 4-P*2 = |
^ ] A * + 4-P^2 sincp(*). |
(1.198) |
Для колебаний вблизи амплитудных значений имеет место при ближенное равенство х да А. Следовательно, решение (1.198) при ближенно можно записать так:
* да Л sinФ (О- |
(1.199) |
Нетрудно видеть, что приближенное решение (1.199) справедливо также при колебаниях с умеренными амплитудами, т. е. когда имеют место неравенства 1/2Рхг <:1/2рЛ2 <^а. Сопоставляя решение (1.193) и (1.199), находим
|
|
|
|
|
sn (i|rf, k) да sin ф (t). |
|
|
|
(1.200) |
|||||
Отсюда следуют [28, 55] приближенные равенства |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
/ |
2 |
|
|
•ф/ |
даТ7(ф, k)»— |
|
K(k) • ф —sin фсоэф la0 |
+ — ^sin2^ |
-f- |
|||||||||
|
|
|
|
+ |
4 т г |
a.sin*<H |
|
|
|
) • |
|
|
(1-201) |
|
Здесь |
F (ф, |
6) — эллиптический |
интеграл |
|
первого рода; |
К (k) — |
||||||||
полный эллиптический интеграл первого рода; |
|
|
|
|||||||||||
|
|
2 |
1\ |
1/Ы |
. |
1Х„ |
LLn 1 |
|
|
I |
(2п — 1)1! |
А2". |
(1.202) |
|
|
|
|
— |
• |
|
|||||||||
|
а0 = — К (k) — 1; |
ап — a„_i |
|
2" • л! |
|
|
||||||||
|
|
Я |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Полагая аг |
= а2 = |
... = 0 , |
запишем |
|
приближенное равенство |
|||||||||
(1.201) так: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( р д а ^ 1 г ^ |
+ |
^ й г 5 1 |
п ( р с 0 3 ( |
р - |
|
р-203) |
|||||
Принимая здесь а0 = 0, в первом приближении получаем линеари зованную [10, 13] фазовую функцию
Ф « - 2 $ Ж Г - в < * 0 = W = W ] / a + 4 - ^ . (1-204)
Для жестких систем (а > 0; р > 0) модуль k, как видно из вто рой формулы (1.194), мнимый, т. е.
Вводя обозначение &0 = - ^ г - , в соответствии со свойством полного эллиптического интеграла от мнимого модуля [28, 55 ] имеем
К (ik0) = К (i ^ = КК (kj. |
(1.205) |
63