Файл: Бондарь, Н. Г. Нелинейные стационарные колебания.pdf

Здесь

k\ = Vl-kl;

^

- _

^

=

/

l

f

U J

|

^ _

.

< i .

Формула (1.204) для частоты с учетом выражений (1.194) и (1.206)

приобретает известный [2, 13, 35, 36, 57] вид

0 =

-ъРЬг

= —

=

"

,

Voc + ВЛ2.

(1.207)

Для

мягких

систем

(а >

0;

В <

0)

выражения

(1.194)

можно

записать так:

•

k

- Y

J l

'

^

<

1.

(1.208)

Формула (1.204) для частоты, с учетом выражений (1.208) при­

обретает известный [2, 13, 35, 36, 571 вид

е — w / a " ^ - | p , i 4 " '

( L 2 0 9 )

женного равенства (1.203). Имеем

Ф = 0 / + - J^ - sin0/cos0 i = 0 / + В sin 20^,

(1.210)

где

при k = 0 и К (k)

Подставляя это значение в формулу (1.211),

приближенно получаем

(I.2I2)

л

(1.213)

противоположный в равенствах

(1.206) и (1.207), получаем извест­

ные [13] точные формулы для частоты больших

свободных

коле­

баний:

6 =

2К {k) У р Л 2

— | а | ;

k =

/ 2 ( P i 4 s - | « l )

(1.214)

Так как для

больших колебаний рЛ2

>. 2 | а | , то 1 ;> k ;>

j / l / 2 -

Для определения максимальной амплитуды В подставим в форму­

лу

(1.211)

К (У"1/2) «

1,85. Будем иметь В

4АГ(У1/2) те 0,425 а0.

Используя

первое

выражение

\В\

(1.202), получаем

Т<0

\

- )

В = 0,425

В>0\

0,10

(1.215)

от

Для малых колебаний си­

тУо~

стем с перескоком

воспользо­

8<0

ваться полученными выше ре­

зультатами

затруднительно,

/

г

\т\

поскольку

в

соответствии

с

Рис. 50. График амплитуд В уточненной

условиями

(1.38),

а

именно:

фазовой функции систем с кубической ха­

| а |

< . РЛ2

<

2 |а |,

первая

рактеристикой.

формула (1.194)

дает

мнимое

значение параметра г|). Для того

чтобы избежать этого, будем ис­

кать решение уравнения (1.192) при начальных

условиях

в виде

t = 0,

X = Л,

х = 0

(1.216)

X = A cn (т|)/, k) =

Л сп и.

(1.217)

Подставляя решение (1.217) в уравнение (1.192) и группируя

члены, имеем Л [— ip* (1 — 2k2

sn2 и) — \а\ + рЛ2

сп2 и] сп и = 0.

Используя известную зависимость сп2 и = 1 — sn2

и и приравнивая

нулю квадратную

скобку,

получаем

(2А*ф« — рЛ2 ) sn2 « - f (рЛ2 — | а | — ip2) = 0.

Это

уравнение

удовлетворяется

при условиях

21гЩ>2 — рЛ2 = 0;

РЛ2

— |ос | — ip2

=

0,

откуда

находим

ф = У"рЛ2 — | о | ,

А2

=

рМ2

(1.218)

2 ( р Л 2 - | с с |) '

Б 4-5

65

туд, т. е. когда Л да 1|/~2

.

Тогда

У 2

/ 2 Р

Г 2

у 2 р

так:

= . 1/2Л* [1 + cos cp (г)] = Л 1 Icos 1/2 ф (01 *. Отсюда

•xssi4cos-j-q>(')-

(1.220)

свойствами

эллиптических

функций:

, ...,

сп (и, k) = dn [ku,

- | - j =

d JB_

. .

2я2я

V у

qn

nnu

2

я

dku

" « ( 4 f

1

* ( + )

\

1

C Q

S .

i " ^ " " " > f j y

Интегрируя,

получаем

со

Ф

o m

i

•

nnku

о V

1

^

=

И

П

В =

^ 7 Х Т +

2

2 - • T T ? ^

s i n

2К

(±)

*(±-)'

Сохраняя здесь один член ряда и

подставляя

и = ip/,

получаем

приближенное равенство ф (t)

= 8г + В sin6/, где

-

e

= - r V

5 =

- г т ^ '

^ =e x p ( - f - ) -

(L222 >

Принимая во внимание формулы (1.218) и вводя обозначение

^ = 4 -

=

т ^ - | / 2 ( р Л 2 - | а | ) ,

(1.223)

6 = VIК (*.) .

(1.224)

В =

= 2sech

я/С (А.)

/С (ft,)

•

+ 4

е х р ( — J + exp(

—J

(1.225)

Здесь использованы известные [23, 55] соотношения

-Y

К'(К)

= К(К);

- ^

= - ^ j / 2 | a [ - p \ 4 2 .

(1-226)

Графики амплитуд Б для систем с перескоком, построенные по

формулам

(1.215)

и (1.225), приведены на рис, 51, где обозначено

Л2 .

Основной

тон. Дифференци

руя

приближенное

равенство

°>г

(1.210)

по

времени

t, получаем

ср (0 =

6(1 +2Bcos2'e/).

0,1

(1.227)

0

Подставляя эту формулу в урав-

нение'(1.12),

имеем

« . . .

-

,

Fcased

Рис. 51. График амплитуд В 'уточнен­

z

\Ч

~

т

г

К

* )

—

ной фазовой функциисистем- с

пере­

в(1 + 2Вcos2№) *

Используя

приближенное равенство

(1.15), запишем это уравнение

в виде

г" (е) + г (е) = -J- {cos - f - в -

В [cos

- 2) е + cos

+ г) ej J.

(1.229)

Частотное решение этого уравнения будем искать в форме

г (е) =

Сх cos -J- е + Са cos

— 2J е + Cs cos

+ 2J 8. (1.230)

б*

67

С2 =

FB

1 —

I

е2

1

С3

=

- -

е 1

cos со<.

"

cos (со — 29) I

+

* | Д с + - | - л : 2 = 8F{- еа

со2

— 5

б 2 — (со - 20)2

cos (со +

26) t

(1.231)

+ б 2 - • (со +

26)а

по форму-

Здесь В определяется по формулам (1.212) и (1.213), а 9

ле (1.33) или (1.207) и (1.209).

Как видно из решения (1.231), помимо гармонических

колебаний

(со + 29), которые условимся

называть ультрагармоническими 1 ,

и колебания с меньшей частотой

(со — 20), которые будем называть

субгармоническими. Последние

удовлетворяют

условию

|со — 2 0 | < с о .

(1.232)

Сначала

о

рассмотрим ультрагармонические колебания. Сохраняя

в решении- (1.231) только член с частотой

(со+20)

и полагая х = Ау\

cos (со +

20) t = ± 1,

получаем

амплитудно-частотные характе­

ристики

для

ультрагармонических

колебаний:

Ау ]/«

+ •

А2У =

±

QFB

(1.233)

б 2

—(со +

26)2