Файл: Бондарь, Н. Г. Нелинейные стационарные колебания.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 22.10.2024

Просмотров: 110

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

гармонических колебаний весьма малы и удовлетворяют условию- а^> --- 6Лу. Это позволяет упростить формулу (1.203) к виду

Ау = ± / а [8* — (ш + 29)2]

(1.234)

Далее рассмотрим субгармонические колебания. Сохраняя в ре­ шении (1.231) только член с частотой (со — 28) и полагаях = Ас;

1,6 о.сен

Рис. 52. Амплитудно-частотные кривые ультрагармонических колебаний осциллятора с кубической характеристикой без трения для различных

F,

см • сек""1:

 

а

жесткая система ({5 = 1 см~~2-сек-2); б — мягкая система ф = —1

см~2-сек-2).

cos («о — 29) t = ± 1, получаем амплитудно-частотные характери­ стики для субгармонических колебаний:

А1=±

 

 

QFB

(1.235)

qi

_

(ш — 29)2

 

 

Порядок вычислений по этой формуле такой же, как для формулы (1.233).

На рис. 53 приведены амплитудные кривые субгармонических колебаний при а = 1 сект2. Как видим, амплитуды субгармониче­ ских колебаний также удовлетворяют условию а ^> -^-Мс- Это поз­ воляет упростить формулу (1.235) к виду

А ^ •

9 B f

0

V^"192 — ( с о - 2 9 ) 2 ]

Следует заметить, что по этой формуле, так же, как и по (1.235), определяются амплитуды субгармонических колебаний при выпол­ нении условия (1.232). В противном случае будут иметь место ко­ лебания с частотой, большей частоты возмущения. За неимением более подходящего термина условимся называть их ультрасубгармоничёскими колебаниями. Амплитудные кривые этих колебаний

69

представлены на рис. 53

левыми ветвями; правые ветви

характери­

зуют субгармонические колебания.

 

Из сопоставления рис. 52 с рис. 53, б вытекает, что, в отличие

от

ультрагармонических

колебаний, субгармонические

колебания

имеют два резонанса.

 

 

Перейдем к рассмотрению стационарных колебаний

при вяз­

ком

трении \ описываемых уравнением х + 2п'х + ах + $х3 =

1,5 а.сеи

Рис. 53. Амплитудно-частотные кривые субгармонических колебаний осциллятора с кубической характеристикой без трения для различных F, см • сек~2:

а

— ж е с т к а я система

ф =

1 см ^ . сек 2): б — мягкая система (Р = —1 см 2 • сек 2).

=

F cos at; а > 0. Подставляя выражение (1.227) в формулу (1.91),

аналогично

(1.229)

получаем

 

 

 

 

 

п

 

 

! z"(e) +

2(e) = - £ - e T 8 { c o s - £ - e — В cos(-jp — 2Je +

 

 

 

 

+ cos(JL + 2)e]}.

 

 

Находя

частные

решения этого уравнения

подобно тому, как

это сделано

в

§ 2 данной главы, получаем

 

 

 

п

 

 

 

 

г(е) = е е

{ a c o s ^ е — pj + accos ^

2Js — p c j +

 

 

 

 

+ aycos ^-|- + 2Je —p y } .

 

Возвращаясь к старым переменным в соответствии с формулами (1.86) и (1.15), для стационарных колебаний имеем

f(x) = a cos (at — р) + ac cos [(со — 20) t — pc ] + + ay cos [(со + 2Q)t — py ].

1 Суб- и ультрагармонические колебания при турбулентном сопротивлении рассмотрены в § 7.

70

Здесь, в соответствии с формулами (1.96) и (1.97), обозначено

а = —

 

QF

 

 

:

 

р =

 

.

 

2лсо

a +

 

е*)»+ 4 л 2ш а

•

^

arctg

 

9 а

у („2 _ m

 

 

 

 

 

 

s

я а _ £ й 2 +

Аналогично этому

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

QFB

 

 

 

 

 

.

а ° _

 

У[ла — (со — 29)а

 

+

9а ]а

+

4«а (со — 26)а

'

 

 

_

,

 

2д (со — 29)

 

 

,

 

 

Рс -

arctg

„г _ (

ш

 

_

2 9)а

+

9а

 

'

 

av =

 

 

 

 

 

 

QFB

 

 

 

 

 

 

 

V[л2 — (со +

29)а

 

+

82 ]а + 4ла

(со + 29)*

 

 

о

-

arctc

 

2

п

( 0 ) +

2

9

)

 

 

 

 

 

р у

— <»u.g

rta

_ ( ш +

2 Q )

2

+

Q2

•

 

 

Тривиально обобщая результат (1.99) и учитывая неравенства

j / d » 1/2М2»1/2Р<

получаем амплитудно-частотные характеристики для субгармони­ ческих и ультрагармонических колебаний в виде

 

 

Л

-

I

У а {[л2 — (со — 26)а

Q F

B

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

с

 

 

+

92 ]а

+

4яа

(со — 29)а}

'

^

236)

 

 

л

^

I

У а {[ла — (со + 29)а

Q F

B

 

 

 

 

 

 

 

 

 

у

 

 

+

92 ]2

+

4л2

(со +

29)а}

 

 

 

 

На

рис.

54

 

построены амплитудно-частотные характеристики

по первой формуле (1.236) при а =

1 сек-2,

п =

0,2 сект1,

F —

=

0,25

см • сек-2.

Максимальные амплитуды субгармонических ко­

лебаний оказались близкими и равными Л с

= 0,013

см. Максималь­

ные амплитуды

 

соответствующих гармонических колебаний

А

=

=

0,55

см

при

р = 1 см—2 • сект2

и

Л =

0,72

см

при

Р

=

=

— 1 см.—2

• сек~2. Максимальное значение амплитуды

ультрагар­

монических колебаний, вычисленное по второй формуле (1.236), оказалось Л у = 0,002 см.

Итак, результаты вычислений свидетельствуют о том, что ам­ плитуды ультрагармонических колебаний на порядок меньше ампли­ туд субгармонических и ультрасубгармонических колебаний. Ам­ плитуды последних, в свою очередь, на порядок меньше амплитуд гармонических колебаний. Возвратимся к кривой F = 2 на рис. 27 и попытаемся объяснить расхождение между аналитическим и ма­ шинным решениями влиянием субгармонических колебаний. Для этого рассмотрим рис. 55, где сплошной линией показана характе­ ристика суммы амплитуд колебаний с частотами со и (со — 28). Как видно, эта характеристика качественно лучше соответствует машинному решению, которое представлено точками, чем ампли­ тудно-частотная характеристика колебаний с частотой со, изображен­ ная штриховой линией.

71

Рассмотрим субгармонические и ультрагармоничешэде-колеба­ ния, возникающие в системах с перескоком, движение которых опи­ сывается уравнением х — ах + Вл:3 = F cos at, а >• О, В > ' 0 . Из­ ложенная выше теория полностью применима и для систем с пере­ скоком, с той лишь разницей, что для определения частот ёвёбодных колебаний следует пользоваться формулами (1.40), (1.41) или (1.222) и (1.225), а для определения амплитудных функций— формулами

Ю*см

А \ л " 1

0,6

 

0.8

1,6 и.сек''

 

0.S

о.сгк''

Рис. 54.

Амплитудно-частотные

кри­

Рис. 55.

Зависимость амплитудно-

вые субгармонических

колебаний

си­

частотной

характеристики

жесткой

стемы с

кубической

характеристикой

системы

от субгармонических ко­

при вязком трении.

 

 

лебаний.

 

 

(1.42) и (1.45). В частности, используя эти формулы, аналогично1 (1.233) получаем амплитудно-частотные характеристики ультра- и субгармонических колебаний:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

еб яв

 

 

т > 2 ;

(1.237)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(to ±

29б)"

 

 

 

 

 

 

 

 

б

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

т

 

 

-

±

 

• 2

 

 

9 H FS

 

 

1 < т < 2 .

 

Лу,с

y i p

-

*

 

ы

 

ы

г

 

V-

 

 

 

 

 

&

-{*±д

 

 

Здесь плюс в знаменателе относится к Л у ,

минус — к Лс .

 

Обобщая

полученные

выше

результаты для

амплитудно-частот­

ных характеристик при наличии вязкого трения на системы с пере­ скоком, совершенно аналогично будем иметь

Л у . с ] / - | - Л у , с - а = ±

 

B6FB

 

 

 

(со ± 2еб )3

+ 6б1 +

4п« (со ± 26б)2 '

 

 

 

V 2 Л У-С

 

 

т > 2 ;

 

 

 

 

(1.238)

уц

2 [/

[л» -

(со ± ем )2

+

ем ]2

+ 4л2

(со ± ем )3

 

 

1

< т < 2 .

 

 

 

 

1 Для малых

колебаний

вместо

(1.227)

справедлива

формула

ср (i) = 6( 1 +

+ Bcos9 0-

 

 

 

 

 

 

 

 

72

Смотрите также файлы