Файл: Бондарь, Н. Г. Нелинейные стационарные колебания.pdf

Скачать файл (7,31Мб)

Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 22.10.2024

Просмотров: 125

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Приравнивая к нулю производную выражения ( I I I . 15) по времени t, находим 1 i критических значений аргумента, из которых хотя бы

одно, пусть это будет со^, соответствует		максимальному	значению
функции ( I I I . 15).
Введем обозначение sintco^ = %t. Тогда для амплитудно-частот
ной характеристики получим	выражение
/ ( 4 u = f(A)	= £ е 2 е	, ^ .	( Ш . 1 6 )

Произвольное возбуждение. Рассмотрим стационарные колеба ния нелинейной системы, описываемые уравнением

х (t) - f R (х) = 2 [a* cos att - f b* sin соД i=i

Это уравнение можно записать еще так:

			оо
	x{t) +	#(*) =	2	d't sin(<в£/ + v<),			(111.17)
где
й\ = У (a]Y+{b'Y;		vt	=	arctg - g - ,	/ = 1, 2, 3,
Аналогично предыдущему частное решение уравнения							( I I I . 17)
можно получить в виде
		S fl,J Qd,		, sin(tcoZ + v,).			( I I I . 18)
		i=i
Пусть в результате исследования на экстремум этой функции
определено критическое		значение		аргумента	со^, соответствующее
наибольшему	значению	функции		(II 1.18). Тогда,		вводя	обозначе
ние sin (iat^	+ v,) = у{,	для амплитудно-частотной				характеристи
ки получаем выражение
				i'=l
Амплитудно-частотные характеристики.					Выражения		( I I I . 13),

(111.16) и ( I I I . 19), описывающие амплитудно-частотные кривые нели нейных систем для различных характеров симметричного воз буждения, в координатах со, | А \ качественно одинаковы. Как вид но из рис. 96, несмотря на то что рассматриваются системы 2 с одной степенью свободы, под влиянием периодического возбуждения они могут бесчисленное число раз вступать в резонанс по гармони

кам	с кратными частотами согласно условиям со, — ко = 0, i =
1	Действительно, использовав известные [23] формулы преобразования коси

нусов кратных аргументов в степени cos со/, получим полином i-й степени относи тельно cos at, имеющий t корней.

а На рис. 96 изображен частный случай жесткой системы.

154

= 1, 2, 3, ... Для динамических систем, в которых явление резо нанса является неблагоприятным фактором, существенную роль играют интервалы между резонансными значениями частот со =

= -j-, а также правее первой резонансной частоты, когда со > 0. В этих интервалах влияние гармоник, начиная со второй, сказыва

ется более существенно, чем на резонансных ветвях.							В самом деле,
в уравнениях ( I I I . 13), (III.16)
и	(III.19)	при	ico — в		один
из	членов	ряда	стремится к
бесконечности,			тогда	как	ос
тальные члены остаются огра
ниченными.
	Следует заметить,			что при
резонансах		по	высшим		час
тотам со, (i -> со) система					ве
дет себя почти как линейная.
Действительно,			из	рис.	96
видно, что скелетные				кривые,
определяющие			зависимость 0			Рис. 96. Общий вид амплитудно-частотной
от \| А \|, по		мере возрастания				Рис. 96. Общий вид амплитудно-частотной
от \| А \|, по		мере возрастания				характеристики жесткой системы при пе
порядка i резонанса все более						риодическом возбуждении	без трения.

приближаются к вертикали.

Ниже будет показано, что учет сопротивлений приводит к тому, что амплитуды резонансных колебаний существенно уменьшаются по мере возрастания порядка i. Практическое значение могут иметь только несколько первых резонансов, а чаще всего резонанс по ос новному тону возбуждения.

§ 2. Симметричное возбуждение систем с трением

Как показано в § 1 данной главы, характер возбуж дения не влияет на качество стационарных колебаний. Поэтому в дальнейшем будем рассматривать произвольное возбуждение, учи тывая, что четное и нечетное возбуждения можно расценивать как частные случаи.

Вязкое трение. Рассмотрим стационарные колебания нелинейной системы, описываемые уравнением

оо
х - f 2п'х + R (х) = 2 d] sin (co£if - f vf ).	(111.20)

Используя замены (1.86), преобразуем нелинейное уравнение (III.20) в линейное:

г"(е)фг(в) = -С-2	d*sin(cof ?ф vt).
Ф	<-=i

155

Линеаризуя фазовую функцию в соответствии с выражением (1.13) и используя зависимости (1.14) и (1.15), а также последнюю формулу (III.2), получаем уравнение, аналогичное (11.32):

г"(е) + z(е) = -±-е6 8 £ d]sin[i-^z+vt J. (111.21)

Частные решения для каждой из гармоник находятся так же, как это сделано в § 2 гл. I , и определяются по формуле (1.95), исполь зуя которую, аналогично (11.33) получаем

гс = а ^ г sin (f -f- Б + v, - P i ) , i = l , 2 , . . .

(111.22)

Здесь в соответствии с формулами (1.96) и (1.97) аналогично (11.34) обозначено

	.	2щса	. . . . „ о \
a i ~ У{п-Р& + &Г + 4пРия '	ё Р с ~	* 2 - i 2 c o 2 H - 8 2	Л"-*)
1 = 1 , 2 , 3 , . . .

Поскольку уравнение (III.21) линейное, то, суммируя частные решения (II 1.22), имеем

z = е8 Е 2 o-i sin [i -j- e+ v£ — p; ).

Переходя здесь к старым переменным в соответствии с формулами (1.13) и (1.86) и учитывая обозначения (III.23), находим решение для стационарных колебаний, аналогичное (11.35):

S	Ы* sin (Ш 4- V,- — р,-)
°°	Ы* sin (Ш 4- V,- — р,-)
i=l V			V	(111.24)
i=l V	(я2 —	+ О2 )2 +	4л2 <2 а1 !	V
Для построения амплитудно-частотной			характеристики необ

ходимо определить максимум выражения (III.24). При этом возни кают еще большие трудности, чем в случае бигармонического возбуждения. Чтобы избежать их, следует, во-первых, как и при гармоническом возбуждении, приближенно считать сдвиги р{ не за висящими от амплитуды и определять их как для линейных коле

баний но второй формуле (III.23), во-вторых, заменить								ряд (111.24)
тригонометрическим		полиномом.
Наиболее простым является частный случай четного возбуждения.
Если имеют место		приближенные				равенства v{ —		i =
= 1, 2,	то решение (III.24) упрощается к виду
		со			*
		S	2	da, cos uot				(111.25)
		S	2	2	2	2	2	(111.25)
						1

,-=i / о — ; ш + е ) +

Заметим, что решения (III.8) и (III.25) аналогичны. Следовательно, условия их максимума одинаковы и определяются выражением cos iat^ = I . Подставляя это выражение, а также х — А в формулу

156

(111.25), получаем уравнение амплитудно-частотной характеристики

					f(A)— ^-y=========—.						(111.26)
Здесь		ряд заменен				полиномом с т членами 1 ,				поскольку, как бу
дет	показано ниже, этот ряд является быстро сходящимся.
	Формулой (III.26) приближенно можно воспользоваться также
для	случая			произвольного возбуждения, т. е. когда							стационарные
колебания				определяются				выра
жением			(II 1.24). Это заключе-						^
ние вытекает из того обстоятель
ства,		что		первый			член	ряда
(III.24) является доминирующим
и в формуле					(II 1.26)		часто мож
но принимать					т =	1. В случае,
когда		тф\,			замена ряда поли
номом		и	использование подста
новки sin (mt + vt — р,) =								I , i —
1, 2,			m	взаимно			компенси- -FB \
руются,			поскольку			их влияние			Рис. 97. График периодического воз
на	результат				противоположно.
Проиллюстрируем							точность		буждения.

формулы			(II 1.26) примерами.
Пусть			периодическая					возмущающая сила		имеет	вид, показан

ный на рис. 97, и описывается уравнением

F ( 0 - ^ ( < - / - £ ) ( - l / .

где /' — число полных полупериодов Т/2,	начиная	с нуля, / =
= О, I , 2, 3, ... Следовательно,
при		я
при		со
F(t) =		со
F(t) =
2	со ^ ^	со
		(111.27)

Подставляя выражения (III.27) в формулы (III.2), определяем коэф фициенты разложения функции F (t) в ряд Фурье. Имеем

	J	F(f)dt+		§ F(t)dt
				r_
_ со /	F0T	FJ	) _	2
_ со /	F0T	FJ	) _	0.
я \	4	4	/ .

Отсюда следует, что функция (II 1.27) симметрична.

1 Количество членов определяется путем анализа быстроты сходимости ряда.

157

Далее определяем

г-Т_

а* = ^ F (t) cos со,* dt = 1 F (*) cos «со* dt 4

•<f ^ F (*) cos *co* d*

	r-T_
	2
	1
о ma	* cos co dt —
о ma

I cos /со* dt	o,	если	i	четное;
I cos /со* dt	4F„		i
T_	4F„	если		нечетное.
T_		если		нечетное.
2

1УГ t

Рис. 98. К аппроксимации периодического возбуждения тригоно метрическим полиномом.

Аналогично находим
т	( 0 ,			если	i	четное;
b' = —[ F (*) sin Ш dt = \ 2F0						i нечетное,
я J w	—		'	5 _ если		i нечетное,
о	[ m		'
Таким образом,	разложение	функции			в ряд Фурье имеет вид