Файл: Бондарь, Н. Г. Нелинейные стационарные колебания.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 22.10.2024

Просмотров: 127

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Разложению (III.28) можно придать одночленную форму:

^ )

= 2 ~ Г 2 - r V l + 4 i T suiparf + v,),

(Ш.30)

 

/=1.3,5....

 

где v, =

arctg (— 2/ш).

 

Теперь в соответствии с формулой (III.24) выражение для ста­ ционарных колебаний при возбуждении (III.30) принимает вид

 

 

£

 

т У ' + т 1 г

 

sin (Ш + vi — рг)

1 v '

я

 

У (л2 — t2co2 + б 2 ) 2 + 4л2 /2 со2

 

 

/=1,3,5,.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

да

 

т=^-^"

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а

 

А,см

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0.дГ~

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

т

 

t

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

4-

 

д

а.сек''

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 99.

Амплитудная

характеристика

Рис.

100.

Характеристика

периоди­

жесткой системы,

возбуждаемой тремя

ческого

(«прямоугольного»)

возбуж­

гармониками при вязком

трении.

 

дения.

 

 

Приближенное выражение для амплитудно-частотной

характе­

ристики в соответствии с формулой

(II 1.26)

имеет вид

 

/(Л) = 2 - § - е

 

2

 

У"4 _|_ рп*

(111.31)

 

Р У(п2 _

;2Ш2 - j - 62)2 4 . 4n 2j2m 2

 

 

 

/=1,3,5,...

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Если рассматривать кубическую

характеристику (1.31), то в

соответствии с выражением (1.32) уравнение (III.31) можно запи­ сать так:

m

+ 4rt2 i2 C03

1,3.5,...

( I I 1.32)

На рис. 99 изображена амплитудно-частотная характеристика, построенная по формуле (III.32) при m = 3 с использованием ЭЦВМ

«Наири - 0 1 для

системы с

параметрами

а = 100

се/с- 2 ; В =

=

60 см-2 - сек-2;

п = 0,02 се/с- 1 ; F0 =

0,5

см • с е к - 2 . Точка­

ми

представлены

результаты

решения 2

уравнения

(III.20) для

1

2

Вычисления выполнены О. И. Мерзликиной.

Результаты получены Н. F. Новиковой и О. И. Мерзликиной.

159

возбуждения (111.29) на ЭЦВМ «Урал-3». Как видим, совпадение аналитических и машинных результатов можно признать хорошим.

Далее рассмотрим периодическую силу (рис. 100), которая опи­ сывается уравнением

/40 =

(111.33)

Подставив выражение (III.33) в формулы (III.2), определим коэффициенты разложения функции F (/) в ряд Фурье:

(111.34)

а' = JL J F (/) cos ajdt = F0 П cos mtdt — j cos /се/Л = 0.

Отсюда следует, что функция (II 1.33) является симметричной и не­ четной.

Далее определяем

b] = j F (/) sin co,/d/ = F,, I j sin mtdt — ]" sin mtdt J =

0, если i четное;

4F,0

если t нечетное.

Таким образом, разложение функции (III.33) в ряд Фурье } имеет вид

4F„

у

1

(111.35)

F(/) = J 5 L

2

-j-sin/со/.

i=l,3,5,...

В соответствии с формулами (1.32), (III.26) и (III.35) амплитуд­ но-частотная характеристика имеет вид

г

2

п

( = 1 д 5 > . . . i У (л2 — i2co2 + 02 )2 + 4л2 ;2 ш2

(111.36)

Построенные по этой формуле при m = 1 главные резонансные зоны амплитудно-частотных характеристик для системы с параметра-

160

а.сен'

Рис. 101. Амплитудные характеристики для главного резонанса

при вязком тре­

нии и прямоугольном возбуждении:

 

 

а— жесткая

снстеыа

(0 =

0,2

см

*-сек *); 6 — мягкая система (Р =

—0,2

см * -сек—*).

ми а =

1 сек-2;

п

=

0,02

сек—1; F0 = 0,3 см • сек-2

приведены

на рис. 101. Здесь же точками представлены результаты решения 1

на ABM МН-7

уравнения (III.20) для

возбуждения

(III.33). Как

видим, несмотря на использо­

f(t)i

 

 

вание только одного члена ря-

7 = —

 

да

(III.36),

соответствие

ма-

'

а

 

шинных

и аналитических

ре­

 

 

 

зультатов можно признать хо­

 

 

 

рошим.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Как видно из рис. 99, выс­

 

 

 

шие резонансные

зоны

имеют

 

 

 

второстепенное значение.

По­

 

 

 

этому на рис. 101

они не при­

 

 

 

водятся.

При

необходимости

 

 

 

их

определения

в формуле

 

 

 

(III.36)

следует

принять

то

 

 

 

значение

/л,

которое

совпа­

Рис. 102. График периодического («тре­

дает

с числом

интересующих

угольного») возбуждения.

 

резонансных

зон.

 

 

 

 

 

 

Рассмотрим периодическую силу, описываемую следующим урав­

нением (рис.

102):

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2F0^-t,

 

 

 

0 < / < - ^ ;

 

 

 

 

 

F0-2F0^[t-

 

 

к

^<t<^-T;

(HI.37)

 

 

 

 

 

 

 

1 Результаты получены В. С. Горбатовым и О. И. Мерзликиной.

11 4-5

161

Подставив .выражения (III.37)" в формулы (III.2), определим коэф­ фициенты разложения функции F {t) в ряд Фурье:

т

F0T

(Ш;38)

cos a-tdt ••

cos iwtdi i +

+ П1 -*-г-('-к-)

cos iatdt

 

- И 1 - . * - ? ( ' - - = • ) ] « • iatdt

Отсюда следует, что функция (III.37) является симметричной и не­ четной. Далее определяем

(Г

b: =

-^^F(t)smw(tdi=^-F0 J 2-^sinjcoM-f>

+И 1 - 2 - s - ( ' - - = • ) ' sin —

 

 

 

 

sin ШсИ

( о,

 

если

i

четное;

8Л,

(— I)',

если

I

нечетное, а / = 0, 1,2,...

£ 2 Я 2

 

 

 

 

Таким образом, разложение функции (III.37) в ряд Фурье имеет вид

те

(111.39)

= ^ 2 ( - l ) ' - ^ s u n W .

 

(=1,3,5....

 

/=0,1,2,...

 

162

В соответствии с формулами (1.32), (III.26), (III.35) амплитудночастотная характеристика имеет вид

( - 1)'

1=1,3,5,... J2 у („2 _ ,-am2 _|_ Q2)2 _|_ 4П 2/2Ш 2

/=0,1,2....

(111.40)

Построенные по формуле (111.40) при т = 1 главные резонансные зоны амплитудно-частотных характеристик для системы с теми же параметрами, что и на рис. 101, изображены на рис. 103. Здесь же

 

 

 

А, си

 

 

 

 

 

 

2

\

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

\

 

 

 

 

 

 

)\

 

 

 

 

2.0

0,4

0,В

1.2

1,6 а, сеif'

Рис.

103. Амплитудные

характеристики для главного резонанса при вязком тре­

нии и треугольном возбуждении:

 

 

 

 

а — ж е с т к а я система (0 =

0,2 с л Г - 2 • с е к -

2 ) ; б — мягкая

система

(0 = —0,2 см~2х

X

сек—2).

 

 

 

 

 

точками представлены результаты решения1 на ABM МН-7 уравнения (III.20) для возбуждения (111.37). Несмотря на исполь­ зование только одного члена ряда (II 1.40), совпадение машинных и аналитических результатов хорошее.

Турбулентное сопротивление. Рассмотрим стационарные коле­ бания нелинейной системы, описываемые уравнением

 

со

 

 

 

х + пх*- sgnx + R (х) = 2 d] sin (сог* + V | ) .

(III.41)

Используя метод переменного масштаба (см. § 3 гл. I), преобразуем

нелинейное уравнение (II 1.41) в линейное:

 

 

 

г"(г) + г(е) = ±-е И ) V &\ sin [i

е + vc).

(111.42)

 

г=1

 

 

Сопоставление уравнений (III.21) и (111.42)

показывает, что

для

частных решений уравнения (111.42) можно

воспользоваться

1

Результаты получены В. С. Горбатовым и О. И. Мерзликиной.

 

11*

 

 

163.

выражениями (III.22), заменив

показатель степени /г-|- на k ^—

т.

е.

 

 

 

 

 

г, =

а/ ( т ~ т ) sin (i -J- в +

v, — р,),

/ = 1 , 2

(111.43)

Здесь в соответствии с формулами (1.136) аналогично

(11.48) обозна­

чено

 

 

 

 

 

 

л _

^£

.

х

._

2ki(Q

,ттт . . .

 

i =

1, 2,

3

 

 

Поскольку уравнение (III.42) линейное, то,

суммируя частные

решения (II 1.43), имеем

 

г = е * (е т) Jjjа . s j n (/ - | - е - f v, —

рД

', '=1

Возвращаясь здесь к старым переменным в соответствии с заме­ нами (1.3) и (1.15) и учитывая приближенное равенство (1.134), для стационарных колебаний получаем выражение

 

 

 

 

оо

 

 

 

 

 

 

/* (х) =

ехр (пх • sgn*) 2

a-i sin (/со/ +

v, — р,).

(111.45)

 

 

 

 

i=i

 

 

 

 

 

Здесь амплитудная функция

(х) определяется по формулам (1.140).

Выше (см. §3, 7 гл. I и §3 гл. II) было показано, что можно поль­

зоваться

приближенным

выражением

(1.143).

Подставляя его,

а также формулы (1.133) и (111.44) в решение

(II 1.45), имеем

„ ,

ТО

,

 

*

 

.

 

 

 

чс-ч

Ы, sin (Ш + V/ — pt)

 

 

 

 

<=1 1 /

/2Ш 2 U

_ d l

„2 _ ! j

+ Q2

+ ] 6

_ ^ ! _ Я 2( -4Ш 4

 

Ограничиваясь в (III.46) конечным числом членов ряда и пола­ гая х = А и sin (/со/ + V;. — Р[) да 1, аналогично (III.26) получаем приближенное выражение для амплитудно-частотной характерис­ тики

/ ( Л ) = Х

•

-

42

— ( I I L 4 7 )

 

 

 

-|_ 16-^5- Л214С04

 

 

 

Я2

 

В качестве примера рассмотрим кубическую характеристику (1.31). В этом .случае в соответствии с формулами (1.32) и (III.47) для ' амплитудно^астотной характеристики получаем выражение

у

( 4 -

+ е з ] + 1 6

НйГл 2 '4 »4

 

 

:

. ( I I I . 48)

164

Смотрите также файлы