Файл: Бондарь, Н. Г. Нелинейные стационарные колебания.pdf

+ 1

+

16

л2£4со4

А,сн

\

"\

-и

\ \\

\

о о

\

\

/

1

од

\

*\

\

1Г

'

Ц4\

i

X

о.сен'

ASJ

1.0

Рис. 105. Амплитудные

Рис. 104.

Амплитудные

характеристики

для глав­

характеристики

для

ного резонанса

при тур­

главного резонанса при

булентном

сопротивлении

турбулентном

сопро­

и

прямоугольном

возбуж­

тивлении

и

треуголь­

дении.

ном возбуждении.

При

воздействии

периодической

силы (III.37)

(см.

рис. 102),

А ] Л с + -6Л2

=

( -

О'

теристик для системы с параметрами а = 1 се/с2 ; п = 0,05 см—';

0 = 0,1 см • сек—2

приведены соответственно на рис. 104 и 105.

Точками

(В = — 0,2 см~2

• сект2)

и кружками

(В = 0,2 смг2 х

X сек~2)

представлены результаты

решения 1

на ABM МН-7 урав­

нения

(III.41) для возбуждений

(111.33) (см. рис. 104) и (III.37)

(см.

рис. 105).

Как видно из рис. 104 и 105,

несмотря

на использование толь­

ко одного

члена

ряда,

совпаде­

ние машинных и

аналитических

результатов

можно

признать

8

о,сек

удовлетворительным.

опреде­

Рис.

106. Амплитудная

характеристи­

Рассмотрим

пример

ления

нескольких

резонансных

ка

жесткой системы,

возбуждаемой

тремя гармониками при турбулентном

зон при воздействии периодиче­

сопротивлении.

ской

силы (III.27) (см. рис. 97).

В этом случае в соответствии с

формулами (III.30) и (III.48) амплитудно-частотная

характеристи­

ка имеет вид

А

+

ВЛ2

=

У4 +

Рп*

1=1,3,5,... I*

+16

л2

л 2

«Наири-С» амплитудно-частотная

характеристика для системы с па­

раметрами

а = 100 сект2; В = 60 см—2 • сек—2; п = 0,01 см—1;

F0 = 0,5 см • сек—2

изображена

на рис. 106. Здесь же точками

показаны

результаты

решения ~

на ЭЦВМ «Урал-3» уравнения

(III.41) для возбуждения (III.29). Как видим,

совпадение аналити­

ческих и машинных решений можно признать

хорошим.

1

Результаты получены В. С. Горбатовым и В. В. Дволучанским.

2

Вычисления выполнены В. В. Дволучанским.

3

Результаты получены В. С. Горбатовым и В. В. Дволучанским.

Если воспользоваться

заменой (1.278) и формулами (1.280), то урав­

нение (III.49) примет вид

£ + c y , + P^ = 8 , + Sd/sin((D t

f+v f ) ,

(III.50)

где параметры а* и б* определяются

по формулам (1.282) с заменой

F0 на 1/2flg-Путем замен

(1.3),

аналогично (1.56), приведем уравне­

ние (II 1.50) к виду

г" (в) + 2

(в) =

- д -

б*+

S d j s i n ( - ^ - в + v t

(111.51)

Частное решение

этого уравнения, найденное аналогично тому,

как это сделано в § 7 гл. I и § 2 гл. I I I , имеет вид

- I

*

V

0 d *

• lb*

г

\

Z

Л

1=1

У V"* + -ir№ = -k- + Ц 9 2 _ - а

и 2 sin(Ш + v( ).

(111.52)

Рассмотрим частный случай

четного

возбуждения, т.

е. когда

d't sin (Ш -f-

= a* cos Ш.

(II 1.53)

ничем не отличаются, т. е.

они определяются формулой (11.12).

Используя

ее и подставляя

в

решение

( I I I . 52) формулу ( I I I . 53) и

cos Ш =

± 1; у=Т

АтВХ, .

(111.54)

min

приходим

к выражению для амплитудночастотных

характеристик

=F Л™ ]/«* + 4-И2 -

± |

- В Г ^ г • <IIL55>

Здесь верхние знаки соответствуют

Атах,

нижние —

Ат-т.

Легко видеть, что в этом случае, так же как для симметричной

системы (см. рис. 96), будет иметь

место бесчисленное

множество

. . .

.

°°

х + 2пх + 80 + ах + ух2 + 6л:3 =

4 " а'о + 2 d' sin (со;* + v,). (111.56)

со

у + 2пу + оу, + рУ = 6* + У, <С sin (со£* +

vt).

(111.57)

(=1

Здесь использованы обозначения (1.282) с заменой

F0

на х/а а'о-

z»(e ) + 2 (e) = - L e 0 8

S* + S d'sin ("тл8 + V()

(111.58)

' = 1

.

а* + 4 " ^ 2 = =

е + § а ' s i n

( ш

+ v ' ~ р<>- ( П 1 , 5 9 )

Здесь использованы обозначения (111.23).

Наиболее простым является

частный случай четного возбужде­

ния.

Если

имеют

место приближенные

равенства vf — рс « —,

£ =

I , 2,

...,то

решение

(III.59) с учетом

обозначений (III.23)

приобретает вид

%й{ cos Ш

,

(111.60)

= i

V («а — *'2<о* + б 2 ) 2 + 4л2 г2 соа

нию амплитудно-частотных

характеристик

=F

У а, + 4 - И2 =

± g / ( Т ^ Г Т 2 ^ - Д 2 ) 2 + toW •

Здесь ряд заменен полиномом,

поскольку этот

ряд быстро сходя­

щийся. В уравнении (II 1.61)

верхние

знаки

соответствуют

Атах,

нижние —

Amin.

симметричного

возбуждения (§ 2 данной

Аналогично случаю

главы) формулой (II 1.61)

приближенно можно воспользоваться

для

тотной характеристики только в зоне главного резонанса

в формуле

(III.61) можно ограничиться одним членом ряда,

т. е. положить

т — 1.

Проиллюстрируем точность формулы (III.61) при т =

1 приме­

рам,1.

Сначала рассмотрим воздействие прямоугольного возбуждения

(III.33) (см. рис. 100) на систему с параметрами а

=

1 сек-2

; р

=

- — 0,2 см~2 • сект2; у — 0,15 см~1 • сек-2; б0

=

—0,5

см

х

min '

1

К

,

4Fn

Q

у

1

9

п

",=1^5,... iV{n2

— i2co2 +

б2 )2 + 4л2г2й>а .

Построенные по этой формуле при т =

1 амплитудные кривые

изображены

на

рис.

107.

Теперь рассмотрим воздействие на систему с теми же пара­

метрами треугольного

возбуждения

(III.37) (см. рис. 102). Уравне­

= Р Л т а х ] / а ! ) ! + 4 - Р Л 2

=

min '

z

е

я

22

р у (л

2

3

tu

2

2

)

2

+ 4я

2

2

ш

а

•

v

— i

+ е

;

8Fn п

( -

О'

ым.2!™

Построенные по этой формуле при

т =

1 амплитудные

кривые

изображены на рис. 108. Точками на рис.

107

и 108

показаны

результаты решения1 на ABM ЛШ-7

уравнения

(III.56)

соответ­

ственно при возбуждении (III.33) и (III.37).