ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 22.10.2024
Просмотров: 130
Скачиваний: 0
Рассматривая умеренно нелинейные системы, для которых 2В |
1, |
представляем приближенно уравнение (III.68) так:
г" (е) + z (в) = ~ (1 — 2В cos 29/) j j j sin со,/ =
= 4 - S b't {sin — 5 [sin (со; — 29) / + sin (со,- + 29) /]} .
Использовав приближенное равенство (1.15) и последнее выражение (II 1.2), запишем это уравнение так:
|
|
со |
|
|
|
|
|
г" (в) + г (в) = |
4 " Е |
6 * { s i n ' " Г 6 |
- В |
s i n |
(< ТГ ~ 2 ) 8 |
+ |
|
|
|
+ |
s i n ( t - ^ + 2 ) e |
} . |
|
(111.69) |
|
Легко |
видеть, |
что |
амплитуды |
частных |
решений |
уравнений |
|
(III.67) и |
(III.69) |
будут |
одинаковыми, |
поскольку они не зависят |
|||
от фазы возбуждения. Следовательно, выводы, полученные для чет ного возбуждения, справедливы также для нечетного и произволь ного ( I I 1.3) возбуждений.
Заметим, что вывод о справедливости формул § 5 гл. I для слу чая периодического возбуждения с заменой со на /со и F на d) триви ально обобщается также на случай колебаний при наличии сопро
тивлений, т. е. когда движение описывается уравнениями |
(III.20) |
и (111.41). |
|
Выше было показано, что частные решения уравнений |
описыва |
ются быстро сходящимися рядами. Поэтому наибольший интерес представляют суб- и ультрагармонические колебания, которые описываются формулами § 5 гл. I с заменой F на d\.
Несимметричные колебания. Рассмотрим случай отсутствия тре ния, т. е. когда колебания описываются уравнением (III.50). Ис пользуя замены (1.3) и выражения (1.227) и (III.3), преобразуем нелинейное уравнение (III.50) к линейному, аналогичному (III.66)
и |
(111.68): , |
|
|
|
|
|
|
|
|
г"(е) + 2(е) = |
б» + 2 к * c o s m » ' + b ' s i n |
|
|
||
|
|
|
9(1 +2B cos 290 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
В случае 2B |
1 приближенно |
имеем |
|
|
|||
г" (е) + |
г (е) = |
4 " (J —2 5 c |
o s 2 Ы ) |
°* + 2 (a'i cos со,/ + b\ sin со,/) |
|||
|
= T |
(6*~2S*BcosШ |
+Д {a''cosщ* ~ Ba'lcos |
fa ~ 2 |
e ) ' + |
||
+ |
cos (со,- + 29) t] + b*, sin со,/ — Bb\ [sin (со,- — 20) / + |
sin (со,- + |
29) /]} |
||||
V 4 I2 4-5 |
177 |
Используя приближенное равенство (1.15) и последнее выражение (III.2), записываем это уравнение в виде
2" (е) + |
z (е) = - f |
[б. - |
26.5 cos |
2е |
+ J |
{a* cos |
i - j - в - |
||
• Bat |
[cos |
( - f |
2) e + |
cos ( - f - |
+ |
2) e |
i f . * - |
. CO |
|
|
|
|
|
|
|
|
-{•bi smt-g-e — |
||
— Bbt |
sln( -- J — 2) s + s i n ( ^ - + |
2) в]} |
|
|
|||||
Отсюда видно, что помимо суб- и ультрагармонических |
колебаний |
||||||||
с частотами |
(со =F 20) |
и 20, рассмотренных в § 7 гл. |
I , возникают |
||||||
также колебания |
с частотами |
(/со +~ 28), |
где |
/ = 2, 3, |
4, |
... Ампли |
|||
туды этих колебаний могут быть найдены по формулам |
§ 5 гл. I |
||||||||
с заменой частоты со на /со и амплитуды возбуждения |
F на d]. Этот |
||||||||
вывод справедлив и для высших тонов, а также тривиально обобща ется на случай колебаний при наличии сопротивлений.
Как и в случае симметричных колебаний, наибольший интерес представляют суб- и ультрагармонические колебания, которые описываются формулами § 5 и 7 гл. 1с заменой F на d'.
§ 5. Устойчивость колебаний
Исследуем устойчивость симметричных и несиммет ричных стационарных колебаний, вызываемых периодическим воз буждением.
Симметричные колебания без трения. Сначала рассмотрим слу чай отсутствия трения для системы с мягкой кубической характе ристикой, т. е. когда колебания описываются уравнением
x{f) + ax{() + №(f) = F{t), а > 0 , р < 0 . (111.70)
Амплитудно-частотная характеристика для умеренно больших амплитуд колебаний при произвольном периодическом возбужде нии определяется выражениями ( I I I . 19) и (1.32). Как показано выше (см. § 6 гл. I), этими же выражениями можно воспользоваться и для определения колебаний, близких к неустойчивости, если
скорректировать частоту 0, заменив ее на |
0 (1 + |
25), т. е. |
||
' АЛГ |
1 , « , / 1 2 |
у |
9 ( 1 + 2 В ) |
^ |
V а |
2~ |
-У e«( i + 2 f f l - w • |
||
Подставляя в это выражение формулы (1.243) и (1.250), полу чаем уравнение критических состояний:
1=1 H p — Ш 1
17»
Это уравнение определяют кривые / критических состояний (рис. 111), которые для различных случаев произвольной возму щающей силы F (t) будут иметь качественно одинаковый вид. Как видно из формулы (III.71) и рис. 111, кривая / бесчисленное мно жество раз пересекает ось со в точках с координатами сот =
- Т Г У Т . —
3 Как показано ранее (см. § 6 гл. I), срыв коле баний может также при водить к неустойчивости. Кривая I I на рис. 111 является границей неустой чивости такого рода.
Для нахождения урав нения кривой / / критиче ских состояний необходимо разрешить систему двух параметрических уравне ний, представляющих со бой амплитудно-частотную характеристику и ее производную по со, в которой
mimm2
Рис. 111. Общий вид критических состояний при периодическом возбуждении без трения.
принято dat = 0. Аналогично тому,
как это сделано для бигармонического воздействия (см. § 5 гл. II), можно получить приближенное уравнение кривой II:
_2_ - , Г а |
_ |
d ' y t |
|
(III.72) |
|
3 V 3 | В | |
~ 2Л |сс |
— |
' |
||
|
|||||
а также координаты точек пересечения ее с осями F и со |
|
||||
Fn = 2 diVi =-ТаУГTJJT' |
0 ) m = - 7 n - ^ |
m = 1 . 2 , 3, . . . |
|||
На рис. I l l сплошные линии разграничивают параметры воз буждения на две зоны. Верхняя зона соответствует параметрам, при которых стационарные колебания неустойчивы, нижняя — параметрам, при которых стационарные колебания устойчивы. Заштрихованные зоны соответствуют параметрам возбуждения, для которых устойчивость стационарных колебаний зависит от началь ных условий. Для начальных условий, при которых реализуются резонансные колебания, стационарные колебания будут неустой чивы, а для начальных условий, при которых реализуются нерезо нансные колебания — устойчивы. Штриховые участки кривой // соответствуют параметрам возбуждения, при которых происходит срыв колебаний с нерезонансной ветви на устойчивую резонансную ветвь. Рассмотрим два примера.
12 4-5 |
179 |
Пусть на систему (III.70) воздействует периодическая сила (Ш.ЗЗ) (см. рис. 100). В соответствии с формулами (III.35), (111.71) и (III.72) уравнения критических состояний будут иметь следующий вид:
для кривой I
а |
- 4 - Л |
|
(111.73) |
|
|
||
|
|
,3,5,... |
|
|
|
/=12 |
|
для кривой / /
3 V 3 |Р | |
л |
г \ Ь |
• IaCus I |
(111.74) |
|
||||
|
|
(=1,3,5,... |
|
|
Если в этих формулах ограничиться только одним членом ряда, то Yi = 1 и выражения (III.73) и (III.74) принимают такой вид:
для кривой /
|
а |
• со' |
(111.75) |
для кривой / / |
Т |
|
|
|
|
|
|
|
~ 6 У 3 | р | 1 а |
со |
(111.76) |
|
|
Для диапазона низких частот форма возмущения мало сказыва ется на амплитуде колебаний и представляется возможным уточне ние формулы (III.74) приближенной подстановкой в (111.72) i = 1 и
|
|
|
2 |
4 ^ ^ . |
|
|
(Ш.77) |
|
|
|
1=1 |
|
|
|
|
Тогда условие устойчивости |
(III.74) примет вид |
|
|
||||
|
|
|
/ 7 о = - | - 1 / Г з Ш - | а ~ С й 2 1 , |
|
( I I L 7 8 ) |
||
а кривая |
77 будет |
пересекать ось F в точке с координатой F// |
|||||
4 - / |
3IM |
Построенные по формулам (III.75), |
(III.76) и |
||||
|
состояний |
для системы с параметрами |
|||||
(III.78) кривые критических |
|||||||
а — 1 сек-}; |
В = |
—0,2 см—2 • сект2 |
изображены |
на |
рис. 112 |
||
сплошными линиями. Здесь же кружками (кривая I) и точками |
|||||||
(кривая |
II) |
представлены |
результаты |
решения 1 на |
ABM МН-7 |
||
уравнения (III.70) при возбуждении (Ш.ЗЗ). |
|
|
|||||
Пусть на систему (III.70) воздействует периодическая сила (111.37) (см. рис. 102). В соответствии с формулами (III.39), (III.71)
1 Результаты, приведенные в этом параграфе, получены В. С. Горбатовым.
180