Файл: Погорелов, А. В. Элементарная геометрия.pdf

прямой, можно провести к этой прямой не более одной па­ раллельной. Теорема доказана.

Из теоремы 8 .1 следует, что если некоторая прямая пере­ секает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и другую.

Пусть АВ и CD — две прямые. Пусть АС — третья прямая, пересекающая прямые АВ и CD (рис. 50). Прямая

АС по отношению к АВ и CD называется секущей. Углы, ко­ торые получаются в пересечении прямых АВ и CD с секу­

Секущая АС образует с прямыми АВ и CD две пары внутренних односторонних и две пары внутренних накрестлежащих углов. Из свойства смежных углов следует, что если внутренние накрестлежащие углы одной пары рав­ ны, то внутренние накрестлежащие углы другой пары тоже равны, а сумма внутренних односторонних углов каждой пары равна 180°. Обратно, если сумма внутренних одно­ сторонних углов одной пары равна 180°, то сумма внутрен­ них односторонних углов другой пары также равна 180°,

авнутренние накрестлежащие углы каждой пары равны.

Те о р е м а 8.2. Пусть а и b — две прямые и с — их секущая. Тогда если прямые а и b параллельны, то внутрен­ ние накрестлежащие углы равны, а сумма внутренних одно­ сторонних углов равна 180°. Обратно, если внутренние на­ крестлежащие углы равны или сумма внутренних односто­ ронних углов равна 180°, то прямые а и Ь параллельны.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Начнем со второго утвержде­ ния теоремы. Допустим, что прямые а и b не параллельны,

61

следовательно, пересекаются в некоторой точке С (рис. 51). Рассмотрим треугольник АВС. Согласно теореме 5.1 сумма углов А и В этого треугольника

по доказанному, прямая а, будет параллельна Ь. Но через точку А проходит только одна прямая параллельная Ь. Следовательно, прямая а совпадает

с flj. Итак, сумма внутренних од­ носторонних углов секущей с с па­ раллельными а и b равна 180°, а значит, накрестлежащие углы рав­ ны. Теорема доказана полностью.

Из теоремы 8.2 следует, что две прямые, перпендикулярные треть­ ей, параллельны. Если прямая перпендикулярна одной из парал­

АСО.

Для прямых АС и BD и секущей ВС углы DBO и АСО являются внутренними накрестлежащими. Действительно, точки А и D лежат в разных полуплоскостях относительно

52

прямой ВС, так как отрезок AD пересекает прямую ВС (в точке О). Из равенства внутренних накрестлежащих углов DBO и АСО по теореме 8.2 следует, что прямые АС и BD параллельны.

Для прямых АС и BD и секущей АВ углы DBA и САВ являются внутренними односторонними. Действительно, точки С и D лежат в одной полуплоскости относительно прямой АВ, именно в той полуплоскости, где лежит точка О. Так как прямые АС и BD параллельны, то сумма внутрен­ них односторонних углов САВ и DBA равна 180°.

Угол DBA равен сумме углов DBC и АВС, так как луч ВС пересекает отрезок AD с концами на сторонах угла ABD. По доказанному, угол DBC равен углу АСВ. Следовательно,

два другие угла острые. Из теоремы 8.3 следует, что в пря­ моугольном треугольнике острые углы дополняют друг дру­

угольник. По теореме 8.3 /_АА~/_В-'с^/С=180°. Отсюда

и АуВу перпендикулярны прямой Ь, следовательно, пер­ пендикулярны и параллельной прямой а.

Углы ВАгА и АуВВу являются либо внутренними одно­ сторонними либо внутренними накрестлежащими относи­ тельно секущей Ау_В. Так как они оба острые, то их сумма меньше 180°. Поэтому они не могут быть внутренними

53

односторонними при параллельных. Следовательно, углы

У них гипотенуза А^В общая, а острые углы А А ХВ и A xBBx равны по доказанному. Из равенства треугольников заклю­

Пусть В — произвольная точка геометрического места. Проведем через точку В прямую, перпендикулярную прямой а. -Она пересекает прямую а в некоторой точке С, а прямую Gj в некоторой точке Сх. Так как точки Сх и В не разде­ ляются точкой С, то из равенства С^С—ВС следует, что точки В и С совпадают, т. е. точка В лежит на прямой аг.

Итак, геометрическое место точек плоскости, располо­ женных по одну сторону от данной прямой а и равноудален­ ных от этой прямой, есть прямая, параллельная а.

З а д а ч а 8.7. Провести через точку В прямую, парал­ лельную прямой а.

Р е ш е н и е . Проводим через точку В прямую b пер­ пендикулярно прямой а (задача 7.5). Проводим через точку В прямую с, перпендикулярную Ь. Прямая с параллельна а.

Вопросы для повторения «

.1. Какие прямые называются параллельными?

2.Сформулируйте аксиому параллельных.

3.Докажите теорему 8.1: если прямая а параллельна прямым Ьи с, то прямые б и с параллельны.

4.Докажите, что если некоторая прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и другую.

5.Объясните, какие углы называются внутренними односторон­ ними? Какие углы называются внутренними накрестлежащимн?

6.-Пусть АВС — треугольник, В1— точка на его стороне АВ, а

54

! Cj— точка на стороне АС. Назовите внутренние односторонние и вну-

;9. Вопросы к доказательству теоремы 8.3 о сумме углов треуголь­

2)Объясните, почему углы ABD и ВАС являются внутренними

годносторонними для прямых АС, BD и секущей АВ?

3)Объясните, почему угол ABD равен сумме углов АВС и DBC?

10.Докажите, что внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, нё смежных с ним.

11.Чему равна сумма острых углов прямоугольного треугольника?

12.Чему равны углы равностороннего треугольника?

13.Докажите, что параллельные прямые равноотстоящие.

Упражнения

14.Пусть а и 6 — две параллельные прямые. Докажите, что пря­ мая b лежит в одной полуплоскости относительно прямой а.

15.Что больше, основание или боковая сторона равнобедренного

треугольника, если угол при вершине равен 57°?

16.Чему равны углы треугольника, если они относятся как 1 : 2 : 3 .

17.Чему равны углы равнобедренного прямоугольного треуголь­

ника?

18.Докажите, что в прямоугольном треугольнике о острым углом 30° катет, противолежащий этому углу, равен половине гипотенузы.

19.Дан треугольник АВС. Как провести через вершину А прямую, не пересекающую сторону ВС, чтобы вершины В и С находились на оди­ наковом расстоянии от этой прямой.

20. Пусть АВС — равнобедренный треугольник с основанием АВ и боковыми сторонами АС и ВС. Доказать, что сумма расстояний произ­ вольной точки X, взятой на основании АВ от прямых АС и ВС, по­ стоянна.

§ 9. ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКИ

Выпуклые четырехугольники. Четырехугольником ABCD называется фигура, которая состоит из четырех точек А, В, С, D, по три не лежащих на одной прямой, и четырех отрезков АВ, ВС, CD и AD, соединяющих эти точки (рис. 56). Точки А, В, С, D называются вершинами че­ тырехугольника, а отрезки АВ, ВС, CD, DA называются его сторонами. Вершины А и С, В и D называются

55