Файл: Погорелов, А. В. Элементарная геометрия.pdf

Рассмотрим второй случай (рис. 46, справа). Из точки О произвольным радиусом проводим окружность, пересе­ кающую прямую а. Пусть А и В — точки ее пересечения с прямой а. Из точек А и В тем же радиусом проводим ок­ ружности. Пусть Ох— их точка пересечения, отличная от

О. Искомая прямая проходит через точки О и Ох. Чита­ телю предлагается обосновать это построение.

Геометрическое место точек. Одним из методов решения задач на построение является метод геометрических мест. Геометрическим местом точек называется фигура, которая состоит из всех точек плоскости, обладающих определен­ ным свойством. Например, по определению, окружность есть геометрическое место точек, равноудаленных от данной точки. Эта точка называется центром окружности, а

находится на одинаковом расстоянии от точек А и В, следует из равенства треугольников АОС

и ВОС. У этих треугольников углы при вершине О пря­ мые, сторона ОС общая, а ЛО=ОД, так как О — середина

47

отрезка АВ. Покажем теперь,' что каждая точка D плос­ кости, равноудаленная от точек А и В, лежит на пря­ мой ОС.

Допустим, что точка D не лежит на прямой ОС. Точки А и В лежат в разных полуплоскостях относительно пря­ мой ОС. Пусть для определенности точка D находится в одной полуплоскости с точкой В, как это изображено на рис. 47. Тогда отрезок AD пересекается с прямой ОС в не­ которой точке Е. По доказанному, А Е —ВЕ. По условию, AD=BD. Отсюда следует, что в треугольнике BDE DB = —BEA-ED. А это невозможно, так как сумма двух сторон больше третьей.

Метод геометрических мест. Сущность метода геометри­ ческих мест решения задач на построение состоит в сле­ дующем. Пусть, решая задачу на построение, нам надо построить некоторую точку X, удовлетворяющую двум условиям: некоторому условию 1 ) и некоторому условию 2 ). Геометрическое место точек, удовлетворяющих условию 1), есть некоторая фигура Flt а геометрическое место точек,

находится на одинаковом расстоянии от всех трех вершин А, В, С. Вместо этого можно сказать, что центр О удовлет­ воряет двум условиям: 1 ) центр окружности находится на одинаковом расстоянии от вершин А и С; 2) центр окруж­ ности находится на одинаковом расстоянии от вершин В и С. Геометрическое место точек, удовлетворяющих первому условию, есть перпендикуляр к стороне АС, про­ веденный через ее середину D. Геометрическое место точек, удовлетворяющих второму условию, есть перпендикуляр

48

к отрезку ВС, проведенный через его середину Е. Таким образом, центр О описанной окружности лежит на пере­ сечении этих перпендикуляров.

Из этого решения получается важное следствие. Так как центр О описанной окружности находится на одинаковом расстоянии от точек А и В, то по теореме 7.6 он лежит на перпендикуляре к отрезку АВ, проведенном через его се­ редину. Отсюда следует, что три прямые, проходящие через, середины сторон треугольника, перпендикулярно этим сто­ ронам, пересекаются в одной точке — центре описанной окружности.

Применение метода геометрических мест не всегда так просто, как в задаче 7.7. Рассмотрим более сложный пример.

вий: 1 ) точка X лежит на прямой

а; 2) А Х + Х В —т. Геометрическое место точек, удовлет­

второму условию, довольно сложно. Оно не сводится к прямым и окружностям. Недостаточно представить условия, определяющие положение точки X в виде двух условий. Надо еще, чтобы каждое из них определяло простое гео­ метрическое место, срстоящее из прямых или окружностей. Умение найти эти условия и является главным в решении задачи.

Покажем, как найти эти условия в данной задаче. До­ пустим, что задача решена. Отложим на полупрямой А Х отрезок АС, равный т. Тогда ХС —ХВ, т. е. точка X рав­ ноудалена от точек В и С. Теперь мы можем формулировать два условия, определяющие положение точки X: 1 ) точка X лежит на отрезке АС; 2) точка X равноудалена от точек В и С. Первое геометрическое место есть отрезок АС, второе геометрическое место есть прямая, перпенди­ кулярная отрезку ВС, проходящая через его середину Е. Точка X находится на пересечении этих геометрических мест.

49

Вопросы для повторения

1.Объясните, как построить треугольник по трем сторонам? Когда задача не имеет решения, т. е. треугольника с данными сторонами не существует?

2.Объясните, как отложить от данной полупрямой в данную полуплоскость угол, равный данному углу?

3.Объясните, как разделить данный угол пополам?

4.Объясните, как разделить отрезок пополам?

5. Объясните, как построить перпендикуляр из данной точки

кданной прямой?

6.Что такое геометрическое место точек?

7.Что представляет собой геометрическое место точек, равноуда­ ленных от двух данных?

8.В чем состоит метод геометрических мест решения задач на построение? Привести примеры задач на построение, решаемых методом геометрических мест.

Упражнения

9.Построить отрезок, равный сумме (разности) двух данных отрезков.

10.Построить угол, равный разности двух данных углов.

11.Построить отрезок, равный 1/i данного отрезка.

12.Построить угол, равный V4 данного угла.

13.Построить треугольник ЛВС по следующим условиям:

1)дан угол А и стороны АВ и АС;

2)дан угол А и стороны АВ и ВС;

3)даны углы Л и В и сторона АВ.

14.Построить треугольник по сторонам АВ, ВС и медиане, прове­ денной к одной из сторон АВ или АС.

15.Построить треугольник по сторонам АВ, ВС и высоте, прове­ денной из вершины А.

16.Построить точку, которая была бы одинаково удалена от точек

Ли В и находилась бы на данном расстоянии от точки С.

17. Докажите, что геометрическое место точек, равноудаленных от двух пересекающихся прямых, состоит из биссектрис углов, которые получаются в пересечении этих прямых.

18. Дан треугольник ЛВС. Построить все точки, равноудаленные

Если прямая с параллельна прямым а и Ъ, то прямые а и b параллельны.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Допустим, чтопрямые а и b не параллельны. Тогда они пересекаются в некоторой точ­ ке С. Таким образом, через точку С проходят две прямые, параллельные прямой с. Но это невозможно по аксиоме VI. Согласно этой аксиоме через точку, не лежащую на данной

50