Файл: Погорелов, А. В. Элементарная геометрия.pdf

противолежащими вершинами. Стороны АВ и CD, ВС и

AD называются противолежащими сторонами. Четырехугольник называется выпуклым, если он рас­

положен в одной полуплоскости относительно прямой, содержащей любую его сторону (рис. 57). Отрезки, соеди­

рехугольник выпуклый. Полупрямые АС и АВ лежат в одной полуплоскости относительно прямой AD.

По теореме 2.2 либо луч АС проходит между сторонами угла BAD либо луч АВ проходит между сторонами угла CAD. Но луч АВ не может проходить между сторонами угла CAD, так как точки С и D лежат в одной полуплоскости от­ носительной прямой АВ. Следова­ тельно, луч АС проходит между

сторонами угла BAD, а значит,

отрезок BD пересекается с прямой АС (по теореме 2.3). Итак, диа­ гональ BD пересекается с прямой АС. Таким же способом, рассматри­ вая углы АВС и ABD, доказываем, что диагональ АС пересекает пря­ мую BD.

Так как диагональ BD пересе­ кается с прямой ЛС, то прямые БД

иАС пересекаются. Но прямые АС

иBD могут иметь только одну точку пересечения. На прямой АС она является точкой диагонали АС, а на пря­

пуклый четырехугольник (рис. 57). Полупрямая DB про­ ходит между полупрямыми DA и DC, так как пересекает

56

отрезок АС. Поэтому угол D четырехугольника равен сумме углов ADB и CDB. Точно так же доказываем, что угол В четырехугольника равен сумме углов ABD и CBD. Отсюда следует, что сумма углов четырехугольника равна сумме углов двух треугольников BAD и BCD, т. е. 360°. Теорема доказана.

точки В и С лежат в одной полуплоскости относительно прямой AD. В той же полуплоскости лежат отрезки ВС, АВ и DC. Итак, параллелограмм лежит в одной полуплоско­ сти относительно прямой, содержащей его сторону AD-. Взяв любую другую сторону параллелограмма, приходим к такому же выводу. А это значит, что параллелограмм яв-

для параллельных прямых AD я ВС и секущей АС, так как точки В и D лежат в разных полуплоскостях относи­ тельно прямой АС (отрезок BD пересекается с прямой АС). Следовательно, углы ВСА и DAC равны. Таким же спосо­ бом заключаем, что углы ВАС и DCА тоже равны.

Теперь треугольники АСВ и CAD равны. У них сторона АС общая, а по доказанному /B C A —/_DAC, /_ВАС= —j/D C A . Из равенства треугольников следует, что ВС= —AD, /_ABC—^C D A . Таким же способом доказывается, что A B —CD и /_BAD —/_DCB. Теорема доказана.

57

Т е о р е м а 9.4. Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть ABCD — данный парал­ лелограмм и О — точка пересечения его диагоналей (рис. 59). Треугольники AOD*и СОВ равны. У них стороны ВС и AD равны, как противолежащие стороны парал­ лелограмма. Углы ОВС и ODA равны, как внутренние накрестлежащие при параллельных ВС и AD и секущей BD.

Углы OCBaOAD равны, как внут-

рехугольник есть параллелограмм.

Если у выпуклого четырехугольника противолежащие стороны равны, то он есть параллелограмм.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть ABCD — данный вы­ пуклый четырехугольник, у которого стороны AD и ВС равны (рис. 60). В обоих случаях треугольники ABD и CDB равны. Именно, для первой части теоремы они равны по первому признаку равенства, а для второй части — по третьему признаку.

Из равенства треугольников следует равенство углов:

58

перпендикулярны AD и поэтому тоже параллельны. Сле­ довательно, прямоугольник — параллелограмм.

Второе утверждение теоремы следует из равенства пря­ моугольных треугольников BAD и CDА. У них углы BAD

сечения диагоналей. Треугольники АОВ и СОВ равны. У

Квадрат является ромбом, поэтому обладает свойствами прямоугольника и ромба.

Трапеция. Т е о р е м а 9.8. Пусть три параллельные прямые а, Ь, с пересекаются прямыми d и dx в точках А, В, С

59.