Файл: Погорелов, А. В. Элементарная геометрия.pdf

Ci и С прямые, В С = В 1С1 по условию, а A xCi = A 2C по по­ строению. Из равенства треугольников следует, что

£ В А лС = /1 В 1А 1С1, B A z= B xAi.

Вслучае, если выполняется условие 1), равенство углов ВАпС и BiAiCi невозможно. Действительно, угол B xAiCx равен углу ВАС. Следовательно, в треугольнике А В А 2 внешний угол при вершине Л г равен внутреннему углу при вершине А. А это противоречит теореме о внешнем угле треугольника.

Вслучае, если выполняется условие 2), равенство сторон

при вершине Л 2 тупой, как смежный к острому углу пря­ моугольного треугольника ВСА2. Значит, угол А тоже тупой. Но это невозможно.

Итак, при выполнении любого из условий 1) или 2) долж­

угол АС2В прямой. Следовательно, угол СС2В прямой,

Отрезок ВА называется перпендикуляром, опущенным из точки В на прямую а, если прямые а и АВ перпендикуляр­ ны (рис. 39). Точка Л называется основанием перпендику­ ляра.

41

Т е о р е м а 6.2. Из точки вне данной прямой можно провести к этой прямой и притом только один перпен­ дикуляр.

Точки В и В г лежат в разных полуплоскостях относи­ тельно прямой а и поэтому отрезок ВВХ пересекает эту прямую в некоторой точке А. Треугольники САВ и САВУ

пендикулярна прямой а, т. е. отрезок ВА есть перпендику­ ляр, опущенный из точки В на прямую а. -

Допустим теперь, что из точки В можно провести два перпендикуляра ВА мВА^ к пря­ мой а. Тогда у треугольника

BAAi будет два прямых угла: /_А и /_ А Х. Но это невозможно. Итак, из точки В можно про­ вести перепендикуляр к прямой а и притом только один. Теоре­ ма доказана.

Пусть ВА — перпендикуляр, опущенный из точки В на пря­ мую а, и С — любая точка пря­

мой а, отличная от А. Отрезок ВС называется наклонной, проведенной из точки В к прямой а (рис. 41). Точка С называется основанием наклонной. Отрезок АС называется

42

проекцией наклонной. Из прямоугольного треугольника ВАС. с прямым углом А видим, что наклонная больше перпендикуляра. В этом треугольнике наклонная является гипотенузой, а перпендикуляр — катетом.

Расстоянием от точки В до прямой а, не проходящей через точку В, называется длина перпендикуляра, опущен­ ного из точки В на прямую а. Так как перпендикуляр коро­ че наклонной, проведенной из той же точки, то расстояние от точки В до прямой а не больше расстояния точки В до любой из точек прямой а.

Вопросы для повторения

1.Какой треугольник называется прямоугольным?

2.Докажите, что в прямоугольном треугольнике только один угол

прямой.

3.Какая сторона прямоугольного треугольника называется гипо­ тенузой? Какие стороны называются катетами?

4.Докажите, что в прямоугольном треугольнике гипотенуза

5.Докажите, что в прямоугольном треугольнике сумма катетов больше гипотенузы.

6.Сформулируйте первый, второй и третий признаки равенства треугольников.

7.Сформулируйте и докажите специальные признаки равенства для прямоугольных треугольников.

8.Объясните, что такое перпендикуляр?

9.Докажите, что из данной точки вне данной прямой можно про­ вести к этой прямой и притом только один перпендикуляр.

10.Объясните, что такое наклонная? Что такое проекция наклон­

ной?

11.Докажите, что перпендикуляр короче любой наклонной, прове­ денной из той же точки.

12.Что такое расстояние от точки В до прямой а, не проходящей через точку В? Докажите, что расстояние от точки В до прямой а не больше расстояния точки В до любой из точек прямой а.

Упражнения

13.Докажите, что равные наклонные, проведенные из одной точки

кданной прямой, имеют равные проекции. И обратно, если у наклонных проекции равны, то равны и сами наклонные.

14.Докажите, что высота равнобедренного треугольника, прове­ денная к основанию, является медианой и биссектрисой.

15.Как провести через вершину А треугольника АВС прямую, пересекающую сторону ВС, чтобы расстояния вершин В и С от этой прямой были одинаковы?

43

17. Докажите, что три биссектрисы треугольника пересекаются

оодной точке.

18.Из точки В к прямой а проведена наклонная ВС. Докажите, что из точки В можно провести другую наклонную BD той же длины, что и ВС.

19.Докажите, что из данной точки к данной прямой нельзя провести трех наклонных одинаковой длины.

20.Из точки В проведены к прямой а перпендикуляр ВА и две на­ клонные ВС и BD. Точка D лежит между Л и С. Докажите, что угол BDC — тупой.

21.Докажите, что из двух наклонных, проведенных из одной точки

к данной прямой, больше та, у которой больше проекция. И обратно,

убольшей наклонной большая проекция.

§7. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПОСТРОЕНИЯ

Что такое задачи на построение. В задачах на построение речь идет о построении геометрической фигуры с помощью данных чертежных инструментов. Такими инструментами чаще всего являются линейка и циркуль.. Решение задачи состоит не столько в построении фигуры, сколько в решении вопроса о том, как это сделать, и соответствующем доказа­ тельстве. Задача считается решенной, если указан способ построения фигуры и доказано, что в результате выполне­ ния указанных построений действительно получается фи­ гура с требуемыми свойствами.

С помощью линейки, как инструмента геометрических построений, можно провести произвольную прямую; про­ извольную прямую, проходящую через данную точку; пря­ мую, проходящую через две данные точки. Никаких дру­ гих операций выполнять линейкой нельзя. В частности, нельзя откладывать линейкой отрезки, даже если на ней имеются деления. Нельзя пользоваться обоими краями линейки и т. п.

. Циркуль, как инструмент геометрических построений, позволяет описать из данного центра окружность данного радиуса. В частности, циркулем можно отложить данный отрезок на данной прямой из данной точки.

Рассмотрим простейшие задачи на построение. Построение треугольника с данными сторонами. 3 а-

д а ч а 7.1. Построить треугольник с данными сторонами

мую и отметим на ней произвольную точку В (рис. 42, спра- 'ва). Раствором циркуля, равным а, описываем окружность с центром В й радиусом а. Пусть С — точка ее пересечения

44

с прямой. Теперь раствором циркуля, равным с, описываем окружность из центра В, а раствором циркуля, равным Ь, описываем окружность из центра С. Пусть А — точка пересечения этих окружностей. Треугольник АВС имеет стороны, равные а, Ь, с.

Задача 7.1 не всегда имеет решение. Согласно теореме 5.4 отрезки а, Ь, с должны удовлетворять условиям: a-j-fc>c,

Ь+с>а, с-\-а>Ь.

Построение угла, равного данному. З а д а ч а 7.2.

Отложить от данной полупрямой в данную полуплоскость угол равный данному углу.

Р е ш е н и е . Проведем произвольную окружность с центром в вершине А данного угла (рис. 43, слева). Пусть В н С — точки пересечения окружности со сторонами угла. Радиусом АВ проведем окружность с центром в точке О — начальной точке данной полупрямой. Точку пересечения

диусом ВС. Точка С1 пересечения описанных окружностей в указанной полуплоскости лежит на стороне искомого угла. Для доказательства достаточно заметить, что тре­ угольники АВС и ОВхСх равны как треугольники с соот­ ветственно равными сторонами. Углы А и О являются соответствующими углами этих треугольников.

Деление угла пополам. З а д а ч а 7.3. Разделить дан­ ный угол пополам.

45

угла. Из точек В и С тем же радиусом описываем окружно­ сти. Пусть D их точка пересечения, отличная от А, Полу­

ружностей. Они лежат в разных полуплоскостях относи­

дует равенство углов АСО и ВСО. Теперь треугольники АСО и ВСО равны по первому признаку. Стороны АО и ВО этих треугольников являются соответст­ вующими, а поэтому равны. Таким образом, О — середина отрезка АВ.

Из точки О проводим произвольным радиусом окруж­ ность. Она пересекает прямую в двух точках Л и В. Из точек А п В проводим окружности радиусом АВ. Пусть С — их точка пересечения. Искомая прямая проходит че­ рез точки О и С. Перпендикулярность прямых ОС и АВ следует из равенства углов при вершине О треугольни­ ков АСО и ВСО. Эти треугольники равны по третьему признаку равенства треугольников.

46