Файл: Погорелов, А. В. Элементарная геометрия.pdf

поэтому больше угла-Л. В итоге угол С треугольника АВС больше угла А этого треугольника. Первое утверждение теоремы доказано.

Докажем теперь, что если / С больше / А, то ЛЯ>ЯС. Допустим, что утверждение неверно. Тогда либо АВ=ВС либо ЛЯ<ЯС. В первом случае треугольник АВС — рав­ нобедренный и, следовательно, углы Л и С при его осно­ вании равны. Но это противоречит условию: /JC больше /_А . Если же АВ<ВС, то по доказанному /_А больше ^/С, что также противоречит условию. Итак, если / С больше /_А , то ЛЯ>ЯС. Теорема доказана полностью.

го треугольника.

Угол ABD больше угла CBD, так как полупрямая ВС проходит между ВА и BD. Таким образом, угол ABD больше угла ADB.

По теореме 5.3 отсюда заключаем, что AD~>AB, т. е. А С + В О А В . Теорема доказана.

Неравенство треугольника. Если точки А я В различны, то расстоянием между ними называется длина отрезка АВ. Если точки Л и Я совпадают, то расстояние между ними принимается равным нулю.

Неравенством треугольника называется свойство рас­ стояний между тремя точками, даваемое следующей тео­

чая: 1) все три точки Л, Я, С различный не лежат на одной прямой; 2 ) все точки различны, но лежат на одной прямой;

3)две точки совпадают; 4) все точки совпадают.

Впервом случае утверждение теоремы следует из теоре­

мы 5.4.

37

Рассмотрим второй случай. Итак, точки А, В, С различ­ ны, но лежат на одной прямой. Одна из этих точек лежит между двумя другими. Если С лежит между А и В, то по свойству измерения отрезков АВ=АС +СВ. Если А лежит между В и С, то АВ+АС=ВС. Если В лежит между А и С, то АВ + ВС —АС. Мы видим, что в любом варианте

все расстояния АВ, ВС, АС равны нулю и следовательно, АВ не больше АС+СВ.

Итак, для любых трех точек А, В, С расстояние АВ ие больше суммы расстояний АС+СВ. Теорема дока­ зана.

Действительно, пусть ЛхЛгЛз. . . Ап — данная ломаная. Тогда, по доказанному, длина отрезка ЛхЛ„ не больше суммы длин отрезков Л 1 Л 2 , Л 2Л3, , . ., ЛП_1 Л„, т. е. длины ломаной.

33

Вопросы для повторения

1.Что такое углы треугольника АВС?

2.Вопросы к доказательству теоремы 5.1 (рис. 34).

1)Объясните, почему углы СОВ и AOD вертикальные?

2) Объясните, почему угол BAD равен сумме углов САВ и CAD) 3) Объясните, почему угол BAD меньше 180°?

3.Какой угол называется острым? Какой угол называется тупым?

4.Докажите, что в любом треугольнике два угла острые.

5.Что такое внешний угол треугольника АВС при вершине А?

6.Докажите, что внешний угол треугольника больше любого внутреннего угла, не смежного с ним.

7.Вопросы к доказательству теоремы 5.3 (рис. 35).

1) Объясните, почему точка Сг лежит между А и В?

2)Объясните, почему угол ВС\С является внешним углом треугольника АСС1 при вершине С{?

3)Объясните, почему угол BCCt меньше угла ВСА)

8.Докажите, что у каждого треугольника сумма двух сторон больше третьей стороны.

9.Что такое расстояние между точками А и В?

10.В чем состоит неравенство треугольника? Докажите неравенство

треугольника.

11. Что такое ломаная? Докажите, что длина ломаной не меньше расстояния между ее концами.

Упражнения

12.Может ли быть треугольник с двумя прямыми углами?

13.Докажите, что в любом треугольнике два внешних угла тупые.

14.Докажите, что две прямые, перпендикулярные третьей, не пере­ секаются .

15.На стороне АВ треугольника АВС взята точка D. Докажите,

что отрезок CD меньше по крайней мере одной из сторон, АС или ВС.

16.Докажите, что любой отрезок с концами на сторонах треуголь­ ника не больше наибольшей из сторон треугольника.

17.Может ли треугольник АВС иметь стороны АВ— 1 см, ВС— 10 см

иА С =18 см) Обосновать ответ.

18.Доказать, что если А В = В С + А С , то три точки А, В, С лежат на

одной прямой.

19. Посмотрите на рис. 34. Здесь ВО — медиана треугольника АВС, проведенная к стороне АС. Докажите, что медиана ВО меньше полусум­ мы сторон ВА и ВС.

20.Докажите, что если вершины ломаной не лежат на одной пря­ мой, то длина ломаной больше длины отрезка, соединяющего ее концы.

21.Докажите, что расстояние между любыми двумя вершинами замкнутой ломаной не больше половины ее длины.

§6. ПРЯМОУГОЛЬНЫЕ ТРЕУГОЛЬНИКИ

Углы и стороны прямоугольного треугольника. Тре­ угольник называется прямоугольным, если у него есть прямой угол. Так как в любом треугольнике два угла ост­ рые, то в прямоугольном треугольнике только один угол

39

прямой. Два другие угла прямоугольного треугольника острые.

Стороны прямоугольного треугольника имеют специ­ альные названия. Именно, сторона, противолежащая пря­ мому углу, называется гипотенузой. Остальные две стороны называются катетами. Углы, противолежащие катетам, острые.

Так как в любом треугольнике против большего угла лежит большая сторона (теорема 5.3), то в прямоугольном треугольнике гипотенуза больше любого из катетов. Так как в любом треугольнике сумма двух сторон больше треть­ ей, то в прямоугольном треугольнике сумма катетов больше гипотенузы.

Равенство прямоугольных треугольников. Для прямо­ угольных треугольников, кроме трех известных нам приз­ наков равенства, имеются другие признаки. Эти признаки равенства прямоугольных треугольников дает следующая теорема.

условие 2). Если у треугольника А С = А 1С1, то треуголь­ ники равны по первому признаку равенства треугольни­ ков при выполнении условия 1 ) и по третьему признаку равенства треугольников при выполнении условия 2 ).

Допустим, что АСфАтр!. Например, Л ^ С Л С . Отло­ жим на полупрямой СА отрезок СЛ2, равный (рис. 38, слева). Точка Л 2 будет между Л и С. Треугольники А 1В 1С1 и А 2ВС равны по первому признаку равенства. У них углы

40